Олимпиада «Физтех»

У весов сдвинута стрелка, то есть они всегда показывают на фиксированное число граммов больше (или меньше) чем истинный вес. Когда на весы положили дыню, весы показали $2$ кг. Когда на весы положили арбуз, весы показали $4$ кг. Когда взвесили и арбуз, и дыню, весы показали $7$ кг. Сколько кг покажут весы, если на них поставить гирю в $2$ кг?

Петя и пять его одноклассников стартовали одновременно в забеге на $100$ метров, и Петя пришёл первым. Через $9$ секунд после начала забега никто ещё не финишировал, и все его участники в сумме пробежали $290$ метров. А когда Петя закончил бег, остальным пяти участникам оставалось пробежать до финиша в сумме $100$ метров. Сколько метров пробежал Петя за $9$ секунд? (Известно, что скорость каждого была постоянной на протяжении всей дистанции.)

Петя составляет «таблицу умножения». Слева от таблицы он написал натуральные числа от $10$ до $75$ включительно, сверху — от $11$ до $48$ включительно. После чего записал в таблицу соответствующие произведения пар чисел. Сколько из выписанных произведений являются чётными числами?

В школьном турнире по волейболу каждая команда встречается с каждой по одному разу. После того, как к числу участников добавилась одна команда, количество встреч увеличилось на $8\%$. Сколько команд участвовало в первенстве после добавления команды?

Вася выписал на доску в строку $1300$ букв, причем количество букв, написанное между любыми двумя гласными буквами, не равно $10$. Какое наибольшее количество гласных букв могло быть выписано?

На доске написаны числа $2^2 3^{14} 5^3 7^{12}$ и $2^{11} 3^2 5^{12} 7^2$. За одну операцию разрешается написать на доску ещё одно натуральное число — разность каких-то двух написанных на доске. При этом запрещается записывать такие числа, которые уже есть на доске. Найдите сумму двух наименьших чисел, которые могут получиться на доске в результате применения таких операций.

Два преподавателя получили два одинаковых набора экзаменационных билетов, написанных на карточках: по $30$ карточек с билетами каждый. Первый перемешал свои карточки и положил их стопкой на стол, потом второй перемешал свои карточки и положил их стопкой сверху на первую стопку. Они подсчитали количество карточек, расположенных между парами карточек с одинаковыми билетами, и сложили полученные результаты ($30$ чисел). Какую наибольшую сумму они могли получить?

В треугольнике $ABC$ со сторонами $BC=12$, $AB=17$, $CA=10$ из вершины $B$ опущены перпендикуляры $BD$ и $BE$ на биссектрисы углов $BAC$ и $BCA$ соответственно. Найдите длину отрезка $DE$.

Известно, что \[ \dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}+\dfrac{1}{z-x}=2{,}5. \] Какое наибольшее значение может принимать сумма \[ \dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{(y-z)^2}+\dfrac{1}{(z-x)^2}\,? \]

У Миши есть четыре банки с красками разного цвета. Сколькими различными способами он может покрасить забор, состоящий из $8$ досок, так, чтобы любые две соседние доски были разных цветов и при этом он использовал краски не менее чем трёх цветов?

Пусть $f(x)=ax^2+bx+2$, $a\lt 0$ и $f(8)=0$. Какое наибольшее количество целочисленных решений может иметь неравенство $ax^4+bx^2+2\gt 0$?

На медиане $AM$ треугольника $ABC$ выбрана точка $K$ так, что $\angle BAC+\angle BKC=180^\circ$. Известно, что $AB=10$, $CK=4$, $AC=8$. Найдите $BK$.