Олимпиада «Физтех»

Какую наименьшую сумму могут иметь семь последовательных натуральных чисел, если эта сумма оканчивается на $1234567$?

Петя и четыре его одноклассника стартовали одновременно в забеге на $100$ метров, и Петя пришёл первым. Через $10$ секунд после начала забега никто ещё не финишировал, и все его участники в сумме пробежали $288$ метров. А когда Петя закончил бег, остальным четырём участникам оставалось пробежать до финиша в сумме $50$ метров. Сколько метров пробежал Петя за $10$ секунд? (Известно, что скорость каждого была постоянной на протяжении всей дистанции.)

В параллелограмме $ABCD$ сторона $BC$ в $3$ раза больше стороны $AB$. Биссектрисы углов $DAB$ и $ABC$ пересекают прямую $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите периметр параллелограмма $ABCD$, если $MN=10$.

Приведённый квадратный трёхчлен $f(x)$ таков, что каждое из уравнений $f(x)=2x-5$ и $f(x)=10-4x$ имеет ровно по одному решению. При каком наибольшем значении параметра $a$ уравнение $f(x)=a$ также будет иметь ровно одно решение?

Даны два числа $x\lt y$. Оказалось, что $\sin(\pi x)+\cos(\pi y)=\dfrac{3\sqrt2}{5}$, $\cos(\pi x)-\sin(\pi y)=\dfrac{4\sqrt2}{5}$. Какое наименьшее значение может принимать величина $y-x$?

Известно, что \[ \dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}+\dfrac{1}{z-x}=2{,}5. \] Какое наибольшее значение может принимать сумма \[ \dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{(y-z)^2}+\dfrac{1}{(z-x)^2}\,? \]

У Миши есть пять банок с красками разного цвета. Сколькими различными способами он может покрасить забор, состоящий из $7$ досок, так, чтобы любые две соседние доски были разных цветов и при этом он использовал краски не менее чем трёх цветов?

При каком наибольшем значении параметра $b$ существует такое $\alpha$, что уравнение \[ x^2+(2\sin\alpha+3\cos\alpha)x+b=0 \] имеет действительное решение?

В основании пирамиды $SABC$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB^2=BC^2=160$, $AC^2=320$). Сфера, проходящая через вершины $A$, $B$, $C$, делит рёбра $SA$ и $SC$ пополам и пересекает ребро $SB$ в точке $B_1$. Найдите радиус сферы, если $SB_1=9$, $BB_1=1$. В ответ запишите квадрат радиуса сферы.

Пусть $f(x)=ax^2+bx+2$, $a\lt 0$ и $f(8)=0$. Какое наибольшее количество целочисленных решений может иметь неравенство $ax^4+bx^2+2\gt 0$?

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с рёбрами $AD=5$, $AB=16$, $AA_1=16$. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $A_1B_1$ и $C_1D_1$. Точки $E$ и $F$ выбраны на рёбрах $CC_1$ и $DD_1$ так, что $C_1E=3$, $D_1F=11$. Какую наименьшую длину может иметь ломаная $APQ$, где точка $P$ лежит на прямой $MN$, а точка $Q$ лежит на прямой $EF$? В ответ запишите квадрат длины ломаной.

Сколькими способами можно разменять $120\,000$ рублей монетами в $1$, $2$ и $5$ рублей?