Олимпиада «Физтех»

Найдите количество целых значений параметра $a$, при каждом из которых уравнение \[ (a^2+a+1)x^2+(7a+2)x+(a-1)=0 \] имеет два корня, один из которых больше $2$, а другой — меньше $2$.

Найдите наибольшее натуральное $k$ такое, что число $300^{2700}-3^{2700}$ делится на $3^k$.

Маша пишет в ряд крестики и нолики — всего $1000$ символов. Оказалось, что количество символов между любыми двумя ноликами отлично от $12$. Какое наибольшее количество ноликов могла написать Маша?

Числа $a, b, c$ удовлетворяют равенству \[ 10\bigl(a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)\bigr)=a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b), \] причём обе части равенства ненулевые. Найдите наибольшее возможное значение суммы \[ S=a+b+c. \]

На сторонах параллелограмма $ABCD$ отмечены точки $E, F, G$ и $H$ и соединены отрезками друг с другом и с вершинами параллелограмма, как показано на рисунке. Полученные в результате разбиения параллелограмма многоугольника раскрасили в шахматном порядке. Для всех частей, закрашенных серым цветом, кроме одной, Петя отметил на рисунке их площади $y_1, \ldots, y_6$. Найдите площадь $y_7$ оставшейся серой части.

Рассматривают все непустые подмножества множества $T=\{1;2;\ldots;100\}$. Для каждого из них вычисляют среднее арифметическое всех чисел этого подмножества. Пусть $A$ — среднее арифметическое всех средних арифметических, вычисленных для подмножеств, содержащих число $40$, а $B$ — аналогичная величина для всех подмножеств, содержащих число $61$. Найдите сумму $A+B$.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\omega$, а его диагональ $AC$ — биссектриса угла $BAD$. Найдите радиус окружности $\omega$, если $AB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $AC=\dfrac{3}{2}$, $AD=\dfrac{5\sqrt{2}}{4}$. Ответ округлите до третьего знака после запятой.

В течение $2N$ дней Петя планирует готовиться к экзаменам по $N$ различным предметам, среди которых есть математика, физика и информатика. К каждому из экзаменов он будет готовиться ровно два дня, причём ни к математике, ни к физике, ни к информатике он не хочет готовиться два дня подряд, а каждый день он готовится только к одному предмету. Сколькими способами Петя может выбрать порядок, в котором он будет готовиться к экзаменам?

Последовательность $x_n$ такова, что $x_0=2$, а для всех целых неотрицательных $n$ \[ \dfrac{x_{n+1}}{4n^2+12n+10}=\dfrac{x_n}{4n^2+4n+2}-1. \] Найдите $x_{100}$.

Квадрат $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$, точка $M$ — середины его стороны $AB$. На чертеже отметили точки $N$ и $K$. Вычислите площадь квадрата $ABCD$, если расстояние $OK=L$.