Олимпиада «Физтех»

В треугольнике на приведённом чертеже площади $\Delta ADE$ и $\Delta BFE$ равны $4$, а площадь $\Delta FDE$ равна $2$. Найдите площадь $\Delta CDF$.

Петя распределяет сумму $63000$ рублей по трём инвестиционным проектам: в первом и втором указана доходность $3\%$ и $5\%$ годовых, а в третьем $6\%$ годовых соответственно. Известно, что только один из проектов принесёт указанную доходность, а два других лишь вернут изначально вложенную сумму. Известно также, что Петя распределил деньги таким образом, чтобы его гарантированный доход (тот, что он получит в наихудшем случае) был как можно большим. Какую сумму он при этом вложил в первый проект?

$AZ$ и $CX$ — биссектрисы треугольника $ABC$, а $Y$ — их точка пересечения. Найдите длину стороны $AC$ этого треугольника, если $\angle ABY=\alpha$, площадь треугольника $ABC$ равна $S$, а площади треугольников $ABZ$ и $ACX$ равны.

Найдите минимальное значение параметра $a$, при котором множество решений уравнения $(2a-7)x-y-6a+21=0$ имеет ровно одну общую точку с множеством решений системы \[ \begin{cases} ax-y-3a+4\leqslant 0,\\ ax+2y-8\geqslant 0. \end{cases} \]

Найдите количество пар таких натуральных чисел $a$ и $b$, что $a$ — трёхзначное, $b$ — четырёхзначное, а их произведение делится на $9$.

Пусть $H$ — точка пересечения высот остроугольного треугольника $ABC$. Окружность, описанная около треугольника $ABH$, касается прямой $AC$. Найдите косинус угла $BCA$, если $AH=1$, $AB=3\sqrt{11}$.

Найдите количество всех пар натуральных чисел $x, y$, при которых верно равенство \[ \sqrt[4]{10^x}+x^2+x+5y=10^{2101}. \]

На занятии по физкультуре учитель расставил $n$ школьников в шеренгу в случайном порядке (любой порядок равновероятен), а затем попросил старосту вычислить количество пар школьников, в которых стоящий справа ниже, чем стоящий слева (между школьниками в паре могут стоять и другие школьники). Какова вероятность, что староста получил число $C_n^2-2$? Известно, что все школьники в классе разного роста.

Имеется палитра из нескольких различных оттенков цветов. Известно, что все оттенки из неё кроме сиреневого сочетаются с разными количеством других оттенков палитры (включая сиреневый), а сиреневый сочетается ровно $13$-ю. Какое наименьшее количество оттенков может быть в такой палитре?

Рассматриваются многочлены вида \[ P(x)=x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+128 \] с неотрицательными коэффициентами $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$, имеющие по семь действительных корней (не обязательно различных). Какое наименьшее значение может иметь $P(8)$?