Объединённая межвузовская математическая олимпиада (ОММО)

Десятичная запись натурального числа $n$ содержит шестьдесят три цифры. Среди этих цифр есть двойки, тройки и четвёрки. Других цифр нет. Число двоек на $22$ больше числа четвёрок. Найти остаток от деления $n$ на $9$.

В диване живут клопы и блохи. Боря лежит на диване и рассуждает: если клопов станет в несколько раз больше, то всего насекомых будет $2012$, а если блох станет во столько же раз больше, а число клопов не изменится, то всего насекомых будет $2011$. Сколько же насекомых живёт в диване сейчас?

Перед испытательным пуском одного из агрегатов строящейся гидроэлектростанции выяснилось, что на расстоянии $S$ км выше плотины находится рыбацкая сеть. Скорость течения реки составляет $v$ км/ч. Работники гидроэлектростанции решили отправиться туда на катере. Снятие сети займёт $5$ минут. Какова должна быть собственная скорость катера, чтобы вся поездка (включая время, требуемое на снятие сети) заняла не более $45$ минут?

Окружность проходит через вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$, пересекает сторону $AB$ в точке $E$ и сторону $BC$ в точке $F$. Найдите радиус окружности, если $AC=6$, $\angle AEC=5\angle BAF$, $\angle ABC=72^\circ$.

Решите уравнение $f(f(x))=f(x)$, где $f(x)=\sqrt[5]{3-x^3-x}$.

Найдите сумму: \[ \frac{\sin\frac{\pi}{3}}{2}+\frac{\sin\frac{2\pi}{3}}{2^2}+\frac{\sin\frac{3\pi}{3}}{2^3}+\ldots+\frac{\sin\frac{2010\pi}{3}}{2^{2010}}. \]

Вершины $K$, $L$, $M$, $N$ четырёхугольника $KLMN$ лежат соответственно на сторонах $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ квадрата $ABCD$. Найти наименьший возможный периметр четырёхугольника $KLMN$, если известно, что $AK=2$ см, $BK=4$ см и $AN=ND$.

Найдите все решения системы \[ \begin{cases} xy-t^2=9,\\ x^2+y^2+z^2=18. \end{cases} \]

Один фермер сварил сыр в виде неправильной пятиугольной призмы, а другой — в виде правильной четырёхугольной пирамиды, высота которой в $2$ раза меньше стороны основания. Ночью мыши отъели от всех вершин этих многогранников все частицы сыра, которые находились на расстоянии не большем $1$ см от соответствующей вершины. У съеденных кусков сыра не было общих частиц. Какой из фермеров понёс больший ущерб и во сколько раз?

Изобразите на координатной плоскости множество точек $(a,b)$ таких, что система уравнений \[ \begin{cases} x^2+y^2=a^2,\\ x+y=b \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение.