Объединённая межвузовская математическая олимпиада (ОММО)

Решите уравнение $2|x-1|\sin x=x-1$.

Ваня сдал три ЕГЭ. По русскому языку он набрал на $5$ баллов меньше, чем по физике, а по физике — на $9$ баллов меньше, чем по математике. Золотая рыбка, приснившаяся Ване, обещала выполнить любое количество желаний следующих видов:
1) прибавить по баллу за каждый экзамен;
2) за один экзамен (по выбору Вани) уменьшить баллы на $3$, а за каждый из двух остальных — увеличить на $1$.
Рыбка выполняет желание, если при этом ни один результат не превысит $100$ баллов. Мог ли Ваня во сне набрать $100$ баллов более чем по одному экзамену?

Одна тетрадь, $3$ блокнота и $2$ ручки стоят $98$ рублей, а $3$ тетради и блокнот — на $36$ рублей дешевле $5$ ручек. Сколько стоит каждый из предметов, если тетрадь стоит чётное число рублей? (Каждый из этих предметов стоит целое число рублей.)

Каждому из двух рабочих поручили обработать одинаковое количество деталей. Первый выполнил работу за $8$ часов. Второй потратил больше $2$ часов на наладку оборудования и с его помощью закончил работу на $3$ часа раньше первого. Известно, что второй рабочий через $1$ час после начала работы оборудования обработал столько же деталей, сколько к этому времени первый. Во сколько раз оборудование увеличивает производительность труда?

Три правильных пятиугольника имеют общий центр, их стороны соответственно параллельны. Стороны двух пятиугольников равны $4$ см и $12$ см. Третий пятиугольник делит площадь фигуры, заключённой между первыми двумя, в отношении $1:3$, считая от меньшего пятиугольника. Найдите сторону третьего пятиугольника.

Функция $f$ такова, что $f(2x-3y)-f(x+y)=-2x+8y$ для всех $x$, $y$. Найдите все возможные значения выражения $\dfrac{f(5t)-f(t)}{f(4t)-f(3t)}$.

В равнобедренном треугольнике с периметром $60$ см точка пересечения медиан лежит на вписанной окружности. Найдите стороны треугольника.

Решите систему \[ \begin{cases} x+y+z=13,\\ x^2+y^2+z^2=61,\\ xy+xz=2yz. \end{cases} \]

На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы которого прямые. Саша утверждает, что кратчайший путь по поверхности этого многогранника от вершины $X$ до вершины $Y$ имеет длину $4$. Прав ли он?

Плоская фигура $W$ представляет собой множество всех точек, координаты которых $(x,y)$ удовлетворяют неравенству \[ \bigl(|x|+\bigl|4-|y|\bigr|-4\bigr)^2\leqslant4. \] Нарисуйте фигуру $W$ и найдите её площадь.