Объединённая межвузовская математическая олимпиада (ОММО)
11 класс, заключительный этап, 2012
10 задач
Задача 1
На $100$ мест за круглым столом посадили $50$ мужчин и $50$ женщин. Будем называть человека довольным, если у него есть сосед противоположного пола. Может ли отношение числа довольных мужчин к числу довольных женщин быть больше $1{,}9$?
Ответ:
Решение:
Задача 2
На первом складе в каждом ящике в среднем по $3$ бракованных изделия, а на втором складе — по $6$. С первого склада на второй перевезли $50$ ящиков, и среднее количество бракованных изделий в ящике на каждом из складов уменьшилось на $1$. Сколько всего ящиков на двух складах?
Ответ:
Решение:
Задача 3
Задача 4
Длина медианы $AD$ треугольника $ABC$ равна $3$, длины сторон $AB$ и $AC$ — $5$ и $7$ соответственно. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Задача 5
Найдите сумму всех различных корней уравнения \[ \sin x+\sin2x+\sin3x+\sin4x+\sin5x=0, \] принадлежащих интервалу $(0;\pi)$.
Ответ:
Решение:
Задача 6
Решите систему \[ \begin{cases} \dfrac{xy}{x+y}=1,\\[2mm] \dfrac{yz}{y+z}=2,\\[2mm] \dfrac{xz}{x+z}=3. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Задача 7
Функция $f(x)$ для всех $x$ удовлетворяет равенству \[ f(x+3)=x+2-f(x), \] а при $x\in[-3;0)$ задаётся формулой $f(x)=x^2$. Найдите $f(2012)$.
Ответ:
Решение:
Задача 8
На одной из сторон острого угла с вершиной $O$ взяты точки $A$ и $B$, а на другой — точка $C$. При какой длине отрезка $OC$ величина угла $ACB$ максимальна, если $OA=1$, $OB=5$?
Ответ:
Решение:
Задача 9
При каких значениях параметра $a$ система \[ \begin{cases} |x|+|y|+\bigl||x|-|y|\bigr|=6,\\ |x|+|y|=a \end{cases} \] имеет наибольшее возможное число решений?
Ответ:
Решение:
Задача 10
Посылка должна быть упакована в ящик в форме прямоугольного параллелепипеда и перевязана один раз вдоль и два раза поперёк (см. рисунок). Можно ли отправить посылку объёма $63$ дм$^3$, имея $4{,}32$ м верёвки (толщиной стенок ящика и уходящей на узлы верёвкой пренебречь)?
Ответ:
Решение: