Всероссийская олимпиада школьников по математике

У Олега есть набор из 2024 различных клетчатых прямоугольников размеров $1\times1$, $1\times2$, $1\times3$, …, $1\times2024$ (по одному прямоугольнику каждого размера). Может ли он, выбрав некоторые из них, составить какой-нибудь клетчатый квадрат площади больше 1?

На координатной плоскости нарисована парабола $y=x^2$. Для данного числа $k\gt 0$ рассматриваются трапеции, вписанные в эту параболу (то есть все вершины трапеции лежат на параболе), у которых основания параллельны оси абсцисс, а произведение длин оснований равно $k$. Докажите, что продолжения боковых сторон всех таких трапеций проходят через одну точку.

По кругу стоят 100 белых точек. Аня и Боря красят по очереди по одной еще не покрашенной точке в красный или синий цвет, начинает Аня. Аня хочет, чтобы в итоге оказалось как можно больше пар разноцветных соседних точек, а Боря — чтобы оказалось как можно меньше таких пар. Какое наибольшее число пар разноцветных соседних точек Аня может гарантировать себе независимо от игры Бори?

В ряд выписаны по одному разу все натуральные числа от 1 до 1000 в каком-то порядке. Докажите, что можно выбрать несколько стоящих подряд выписанных чисел, сумма которых больше 100000, но не превосходит 100500.

Диагонали выпуклого четырехугольника $ABCD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $O$. Центры вписанных окружностей треугольников $ABC$, $BCD$, $CDA$, $DAB$ являются вершинами выпуклого четырехугольника, периметр которого равен $P$. Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей треугольников $AOB$, $BOC$, $COD$, $DOA$ не превосходит $\dfrac{P}{2}$.

Сергей утверждает, что нашел различные вещественные числа $x, y, z$ такие, что \[ \frac{1}{x^2+x+1}+\frac{1}{y^2+y+1}+\frac{1}{z^2+z+1}=4. \] Могут ли слова Сергея быть правдой?

Петя утверждает, что он написал 10 подряд идущих натуральных чисел, и оказалось, что среди всех цифр, используемых в этих числах, каждая цифра (от 0 до 9) встречается одно и то же количество раз. Могли ли слова Пети оказаться правдой?

Дан четырехугольник $ABCD$, в котором $\angle A=\angle C=90^\circ$. Известно, что его вершины $A$ и $D$ вместе с серединами сторон $AB$ и $BC$ лежат на одной окружности. Докажите, что вершины $B$ и $C$ вместе с серединами сторон $AD$ и $DC$ тоже лежат на одной окружности.

Найдите все тройки (не обязательно различных) натуральных чисел $a, b, c$ такие, что каждое из чисел \[ a+bc,\quad b+ca,\quad c+ab \] является простым делителем числа $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)$.

Каждый из 2024 людей является рыцарем или лжецом. Некоторые из них дружат друг с другом, причем дружба взаимна. Каждого из них спросили про количество друзей, и все ответы оказались различными целыми числами от 0 до 2023. Известно, что

• все рыцари отвечали на вопрос верно,
• все лжецы изменяли истинный ответ ровно на 1.

Какое наименьшее число лжецов могло быть среди этих людей?