Всероссийская олимпиада школьников по математике

Найдите натуральное $x$ такое, что \[x^x=2^{2^{11}}.\]

В прямоугольнике $ABCD$ со сторонами $AB=10$, $BC=12$ отметили точку $M$ — середину стороны $CD$. На отрезке $BM$ отметили точку $P$ так, что $BC=BP$. Найдите площадь четырехугольника $ABPD$.

Петя случайно выбирает натуральное число $d$ от 1 до 5; вероятность выбрать каждое равна $\dfrac{1}{5}$. Затем Петя случайно выбирает натуральное число $a$ от 1 до 1300; вероятность выбрать каждое равна $\dfrac{1}{1300}$. Найдите вероятность того, что один из членов арифметической прогрессии с первым членом $a$ и разностью $d$ будет равен 1825.

У Пети есть натуральное число $N$. Он рассматривает все пары цифр числа $N$, одна из которых чётная, а другая нечётная, и записывает на доску произведение цифр в каждой паре. Например, если бы у него было число 2338, то на доске были бы записаны числа 6, 6, 24 и 24. Оказалось, что сумма чисел на доске равна 26. Какое минимальное $N$ могло быть у Пети?

Рассмотрим правильную десятиугольную призму $A_1A_2\ldots A_{10}B_1B_2\ldots B_{10}$. Найдите количество прямых, проходящих через две вершины этой призмы и скрещивающихся с диагональю $A_1B_6$.

Функции $f(x)$ и $g(x)$ определены на множестве действительных значений и принимают действительные значения. Также известно, что $f(x)$ и $g(x)$ взаимно обратны, при этом значения функций $f(x)$ и $y=\dfrac{x}{2}$ во всех точках отличаются меньше чем на 5. Уравнение $g(x)=25-x^2$ имеет целый корень. Найдите все возможные значения этого корня. Напомним, что функции $f(x)$ и $g(x)$, определённые на множестве действительных значений и принимающие действительные значения, являются взаимно обратными, если $f(g(x))=g(f(x))=x$ для всех действительных $x$.

В остроугольном треугольнике провели высоту $BH$. На дуге $AC$ описанной окружности треугольника $ABC$, не содержащей точку $B$, отметили точку $X$ такую, что $BX=BC$. Прямая, проходящая через $X$ параллельно $AB$, пересекает отрезки $AC$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$. Найдите длину отрезка $PQ$, если $AB=7$, $AC=10$, $AH=3$.

Петя и Вася играют в следующую игру. На доске $5\times 5$ в каждой клетке лежит по $n$ конфет. Петя и Вася по очереди, начиная с Пети, выбирают непустую клетку и съедают из неё несколько конфет. При этом из угловых клеток разрешается съедать не более двух конфет, из клеток, имеющих 3 соседа по стороне, — не более 3 конфет, из всех остальных — не более 5 конфет. Игрок, после чьего хода появляется пустая строка или пустой столбец, побеждает. Для скольких $n$ в диапазоне от 1 до 1000 у Пети есть выигрышная стратегия?