Поиск задач

Пять мальчиков и пять девочек случайным образом рассаживаются за круглым столом. Будем называть мальчика счастливым, если рядом с ним сидит хотя бы одна девочка. Найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество счастливых мальчиков.

Пять мальчиков и пять девочек случайным образом рассаживаются за круглым столом. Будем называть мальчика счастливым, если рядом с ним сидят две девочки. Найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество счастливых мальчиков.

В классе 10 мальчиков и 15 девочек. Из них случайным образом выбирают пятерых для представительства в школьном ученическом совете. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество девочек, выбранных в ученический совет от этого класса.
Указание. Вероятность, например, того, что в ученический совет будут выбраны ровно 2 девочки (и, соответственно, 3 мальчика) равна $\displaystyle\frac{C_{15}^2\cdot C_{10}^3}{C_{25}^5}=\frac{60}{253}$.

На кафедре математики работают 7 преподавателей без учёной степени, 8 кандидатов наук и 5 докторов наук. Из них случайным образом выбирают пятерых для отправки на конференцию. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество кандидатов наук, отправившихся на конференцию.
Указание. Вероятность, например, того, что на конференцию отправится ровно 3 кандидата наук (и, соответственно, двое будут выбраны среди докторов наук и неостепенённых) равна $\displaystyle \frac{C_8^3\cdot C_{12}^2}{C_{20}^5}=\frac{77}{323}$.

На билете мгновенной лотереи 9 (девять) скрытых под скретч-слоем окошек. На каждом билете достоверно имеются три окошка, содержащие одинаковый денежный приз (по 100 рублей), а остальные шесть окошек без выигрыша. Игрок должен стереть защитный скретч-слой ровно с трёх окошек, в противном случае билет считается недействительным, и оплата выигрыша по нему организатором лотереи не производится. Случайная величина $X$ — общий выигрыш, полученный игроком (0, 100, 200 либо 300 рублей). Составить ряд распределения и найти математическое ожидание такой случайной величины. Какова должна быть минимальная стоимость такого лотерейного билета (с точки зрения выгоды организатора)?
Указание. Возможно, будет полезно переформулировать задачу. В мешке лежат шесть белых и три чёрных шарика. Из этих девяти шариков случайным образом выбирают три. Вопрос «какова вероятность, что из выбранных трёх шариков ровно два чёрных?» и вопрос «какова вероятность, что участник лотереи выиграет ровно 200 рублей» идентичны в такой модели.

На билете мгновенной лотереи 10 (десять) скрытых под скретч-слоем окошек. На каждом билете достоверно имеются три окошка, содержащие одинаковый денежный приз (по 100 рублей), а остальные семь окошек без выигрыша. Игрок должен стереть защитный скретч-слой ровно с трёх окошек, в противном случае билет считается недействительным, и оплата выигрыша по нему организатором лотереи не производится. Случайная величина $X$ — общий выигрыш, полученный игроком (0, 100, 200 либо 300 рублей). Составить ряд распределения и найти математическое ожидание такой случайной величины. Какова должна быть минимальная стоимость такого лотерейного билета (с точки зрения выгоды организатора)?
Указание. Возможно, будет полезно переформулировать задачу. В мешке лежат семь белых и три чёрных шарика. Из этих десяти шариков случайным образом выбирают три. Вопрос «какова вероятность, что из выбранных трёх шариков ровно два чёрных?» и вопрос «какова вероятность, что участник лотереи выиграет ровно 200 рублей» идентичны в такой модели.

Десять мальчиков и десять девочек случайным образом рассаживаются за круглым столом. Будем называть мальчика счастливым, если рядом с ним сидит хотя бы одна девочка. Найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество счастливых мальчиков.

Десять мальчиков и десять девочек случайным образом рассаживаются за круглым столом. Будем называть мальчика счастливым, если рядом с ним сидят две девочки. Найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество счастливых мальчиков.

Три различных шарика размещают по трём ящикам. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество ящиков, оставшихся пустыми (0, 1 или 2).
Указание. Например, $\displaystyle P(\{X=0\})=\frac{3!}{3^3}=\frac{2}{9}$ (ни одного пустого ящика не останется, если в каждом ящике лежит по одному шарику).

Четыре различных шарика размещают по четырём ящикам. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество ящиков, оставшихся пустыми (0, 1, 2 или 3).
Указание. Например, $\displaystyle P(\{X=3\})=\frac{4}{4^4}=\frac{1}{64}$ (останется три пустых ящика, если все шарики лежат в одном из четырёх ящиков).

Три охотника одновременно и независимо стреляют в кабана. Известно, что первый попадает с вероятностью $0{,}8$, второй — с вероятностью $0{,}7$, третий — с вероятностью $0{,}6$. Кабан убит, и в нём обнаружены две пули. Какова вероятность, что третий охотник попал в кабана?

В лифт 50-этажного дома на первом этаже вошли 5 человек. Будем считать, что никто из них не выйдет тут же на первом этаже, и каждый может с одинаковой вероятностью и независимо от других выйти на любом этаже с 2-го по 50-й. При этих условиях:
а) Вычислить, во сколько раз вероятность того, что на 7-м этаже выйдет ровно один из них, больше вероятности того, что на 7-м этаже выйдут ровно трое.
б) Найти вероятность того, что на 7-м этаже выйдет хотя бы один.

Правильный игральный кубик бросали до тех пор, пока сумма выпавших при всех бросках очков не стала больше чем 3. Известно, что общая сумма очков оказалась равна 4. Начертите дерево эксперимента. Какова вероятность того, что было сделано ровно три броска?

Три охотника одновременно, независимо, цинично и жестоко стреляют в очаровательного оленёнка. Известно, что первый попадает с вероятностью $0{,}9$, второй — с вероятностью $0{,}8$, третий — с вероятностью $0{,}6$. Оленёнок убит, и в нём обнаружена одна пуля. Какова вероятность, что третий охотник промахнулся?

В лифт 26-этажного дома на первом этаже вошли 7 человек. Будем считать, что никто из них не выйдет тут же на первом этаже, и каждый может с одинаковой вероятностью и независимо от других выйти на любом этаже с 2-го по 26-й. При этих условиях:
а) Вычислить, во сколько раз вероятность того, что на 5-м этаже выйдет ровно двое из них, больше вероятности того, что на 5-м этаже выйдут ровно трое.
б) Найти вероятность того, что на 5-м этаже выйдут хотя бы двое.

В лифт 26-этажного дома на первом этаже вошли 6 человек. Будем считать, что никто из них не выйдет тут же на первом этаже, и каждый может с одинаковой вероятностью и независимо от других выйти на любом этаже с 2-го по 26-й. При этих условиях:
а) Вычислить, во сколько раз вероятность того, что на 5-м этаже выйдет ровно двое из них, больше вероятности того, что на 5-м этаже выйдут ровно трое.
б) Найти вероятность того, что на 5-м этаже выйдут хотя бы двое.

Решить уравнение: $6\,C_{x-3}^{x-5}+A_{x+4}^2=18x-12$.

В партии из 250 деталей ровно 20 бракованных. Из этой партии случайно выбирают 10 деталей.
а) Какова вероятность, что не менее 8 из них окажутся бракованными?
б) Во сколько раз вероятность того, что ровно четыре детали бракованные, больше вероятности того, что бракованных деталей ровно шесть?
в) Какова вероятность, что хотя бы одна деталь окажется бракованной?

Решить уравнение: $2\,C_{2x-3}^{2x-5}+A_{7-x}^2=-12x^2+41x+3$.

В партии из 250 деталей ровно 30 бракованных. Из этой партии случайно выбирают 10 деталей.
а) Какова вероятность, что не менее восьми из них окажутся бракованными?
б) Во сколько раз вероятность того, что ровно две детали бракованные, больше вероятности того, что бракованных деталей ровно шесть?
в) Какова вероятность, что хотя бы одна деталь окажется не бракованной?