Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой и сложностью, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 313
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, сторона которого равна 6. На ребре $A_1D_1$ взята точка $M$ так, что $A_1M:D_1M=2:1$. Найти площадь сечения куба плоскостью $(ACM)$.
Ответ:
Решение:
Все рёбра правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равны $a$. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через сторону $BC$ и середину отрезка, соединяющего точки пересечения медиан оснований. Найти площадь этого сечения.
Ответ:
Решение:
Все рёбра правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равны $a$. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через сторону $BC$ и середину отрезка, соединяющего середины медиан оснований, проведенных к сторонам $BC$ и $B_1C_1$. Найти площадь этого сечения.
Ответ:
Решение:
Уравнение плоскости в отрезках. Плоскость задана уравнением $Ax+By+Cz+D=0$, причём числа $A$, $B$, $C$ и $D$ отличны от нуля. Докажите, что тогда уравнение плоскости можно записать в виде $\frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{r}=1$, где $P(p;0;0)$, $Q(0;q;0)$ и $R(0;0;r)$ — точки пересечения плоскости с координатными осями.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, где $AA_{1}$, $BB_{1}$, $CC_{1}$ и $DD_{1}$ — параллельные рёбра, плоскость $P$ проходит через диагональ $A_{1}C_{1}$ грани куба и середину ребра $DD_{1}$. Найдите расстояние от середины ребра $CD$ до плоскости $P$, если ребро куба равно 4.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, где $AA_{1}$, $BB_{1}$, $CC_{1}$ и $DD_{1}$ — параллельные рёбра, плоскость $P$ проходит через диагональ $A_{1}C_{1}$ грани куба и середину ребра $AD$. Найдите расстояние от середины ребра $AB$ до плоскости $P$, если ребро куба равно 3.
Ответ:
Решение:
Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с ребром $a$. Пусть $M$ — такая точка на ребре $A_{1}D_{1}$, для которой $A_{1}M:MD_{1}=1:2$. Найдите периметр треугольника $AB_{1}M$, а также расстояние от вершины $A_{1}$ до плоскости, проходящей через вершины этого треугольника.
Ответ:
Решение:
Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Точка $M$ — середина ребра $B_{1}C_{1}$. Найдите угол между прямыми $AC_{1}$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
Дана правильная треугольная призма $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ со стороной основания $2\sqrt{7}$ и боковым ребром $2\sqrt{15}$. Точка $M$ — середина ребра $BB_{1}$. Найдите угол между плоскостями $AMC$ и $A_{1}BC_{1}$.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с рёбрами $AB=2$, $AD=4$, $AA_{1}=6$. Найдите расстояние от середины ребра $D_{1}C_{1}$ до плоскости, проходящей через середины рёбер $AB$, $AD$ и $CC_{1}$.
Ответ:
Решение:
Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$. Известно, что её высота относится к стороне основания как $\sqrt{3}:2$. Найдите угол между плоскостью $ASD$ и прямой, проходящей через точку $B$ и середину ребра $SD$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырехугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона основания равна $AB=4$, боковое ребро $AA_1=12$. На середине ребра $AD$ взята точка $M$, на ребре $CC_1$ взята точка $K$ так, что $CK:C_1K=3:1$. Постройте сечение призмы плоскостью $BMK$. а) В каком отношении эта плоскость делит ребро $DD_1$? Найти б) периметр и в) площадь сечения.
Ответ:
Решение:
В правильной четырехугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона основания равна $AB=4$, боковое ребро $AA_1=15$. На середине ребра $AD$ взята точка $M$, на ребре $CC_1$ взята точка $K$ так, что $CK:C_1K=3:2$. Постройте сечение призмы плоскостью $BMK$. а) В каком отношении эта плоскость делит ребро $DD_1$? Найти б) периметр и в) площадь сечения.
Ответ:
Решение:
Вокруг куба $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ описана сфера. На ребре $CC_{1}$ взята точка $M$, при этом плоскость $ABM$ образует угол $15^{\circ}$ с плоскостью $ABC$.
а) Докажите, что расстояние от центра сферы до плоскости $ABM$ вдвое меньше радиуса окружности, описанной около грани куба. б) Найдите длину линии пересечения плоскости $ABM$ и сферы, если ребро куба равно 2.
а) Докажите, что расстояние от центра сферы до плоскости $ABM$ вдвое меньше радиуса окружности, описанной около грани куба. б) Найдите длину линии пересечения плоскости $ABM$ и сферы, если ребро куба равно 2.
Ответ:
Решение:
Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с ребром $a$. Точка $E$ — середина ребра $AD$. Вершины $M$ и $N$ правильного тетраэдра $MNPQ$ лежат на прямой $ED_{1}$, а вершины $P$ и $Q$ — на прямой, проходящей через точку $A_{1}$ и пересекающей прямую $BC$ в точке $R$. Найдите
а) отношение $BR:BC$;
б) расстояние между серединами отрезков $MN$ и $PQ$.
а) отношение $BR:BC$;
б) расстояние между серединами отрезков $MN$ и $PQ$.
Ответ:
Решение:
Основание прямой треугольной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ — равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $AC=BC=a$. Вершины $M$ и $N$ правильного тетраэдра $MNPQ$ лежат на прямой $CA_{1}$, а вершины $P$ и $Q$ — на прямой $AB_{1}$. Найдите:
а) объём призмы;
б) расстояние между серединами отрезков $MN$ и $PQ$.
а) объём призмы;
б) расстояние между серединами отрезков $MN$ и $PQ$.
Ответ:
Решение:
Основание пирамиды $SABCD$ — равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=2BC$, $M$ — середина бокового ребра $SA$, а высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $BMC$ — прямоугольник.
б) Найдите расстояние между прямыми $AD$ и $CM$, если $BC=6$, высота пирамиды равна 16, а диагонали трапеции $ABCD$ перпендикулярны.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $BMC$ — прямоугольник.
б) Найдите расстояние между прямыми $AD$ и $CM$, если $BC=6$, высота пирамиды равна 16, а диагонали трапеции $ABCD$ перпендикулярны.
Ответ:
Решение:
На рёбрах $AB$ и $BC$ треугольной пирамиды $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $AM:MB=CN:NB=1:3$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $DA$ и $DC$ соответственно.
а) Докажите, что точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.
а) Докажите, что точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.
Ответ:
Решение:
На ребре $SD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ отмечена точка $M$, причём $SM:MD=1:4$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $BC$ и $AD$ соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $MPQ$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $MPQ$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.
Ответ:
Решение:
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_{1}$, причём $CC_{1}$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC$ — диаметр основания. Известно, что $AB=\sqrt{6}$, $CC_{1}=2\sqrt{3}$, $\angle ACB=30^{\circ}$.
а) Докажите, что угол между прямыми $AC_{1}$ и $BC$ равен $45^{\circ}$.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_{1}$.
а) Докажите, что угол между прямыми $AC_{1}$ и $BC$ равен $45^{\circ}$.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_{1}$.
Ответ:
Решение: