Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой и сложностью, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 162
В плоскости равностороннего треугольника через его центр проведена произвольная прямая. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин треугольника до этой прямой не зависит от выбора прямой.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ меньшая боковая сторона $AD=8$ перпендикулярна основаниям $AB=9$ и $CD=5$. На большем основании взята точка $M$ так, что $AM:MB=2:7$, на большей боковой стороне взята точка $K$ так, что $BK:CK=1:3$. Доказать, что $AK\perp DM$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=1:2$, а на стороне $CD=2\cdot BC$ взята точка $K$ так, что $CK:KD=5:1$. Доказать, что $AK \perp DM$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольнике $ABCD$ задано отношение сторон: $AB:AD=4:3$. На стороне $BC$ взята точка $M$ так, что $BM:CM=1:2$. На стороне $CD$ взята точка $K$ так, что $DK:CK=3:5$. Докажите, что $AK\perp DM$.
Ответ:
Решение:
Найти скалярное произведение $\overline{AB}\cdot\overline{AC}$, где $A$, $B$, $C$ — вершины равнобедренного треугольника, в котором $AB=BC$ и $AC=4$.
Ответ:
Решение:
Найти все значения $\alpha$, при которых векторы $\vec a=(2\alpha,~-5\alpha,~3)$ и $\vec b=(3\alpha,~\alpha+1,~2)$ ортогональны.
Ответ:
Решение:
Найти величину угла $\angle A$ в треугольнике $ABC$ с вершинами в точках $A(1,~4,~1)$, $B(2,~5,~-3)$, $C(-1,~-4,~3)$.
Ответ:
Решение:
Охарактеризуйте взаимное положение прямой $\displaystyle \frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{4}=\frac{z}{5}$ и плоскости $2x+y-2z=5$.
Ответ:
Решение:
Найти угол между прямой $\displaystyle\frac{x}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+3}{0}$ и плоскостью $x-2y-z-3=0$.
Ответ:
Решение:
Найти угол между прямой $\displaystyle\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}$ и плоскостью $x+3y+2z+5=0$.
Ответ:
Решение:
Составить уравнения высоты $BD$ треугольника с вершинами $A(-2,~0,~1)$, $B(4,~-1,~4)$ и $C(7,~-3,~4)$.
Ответ:
Решение:
Даны четыре точки: $A(5a;~a;~1)$, $B(2a;~3a;~4)$, $C(2a;~a;~2)$, $D(a;~1;~-3)$. Найти все значения $a$, при которых векторы $\overline{AB}$ и $\overline{CD}$ ортогональны.
Ответ:
Решение:
Найти все значения $\alpha$, при которых векторы $\vec a=(5-\alpha,~-1,~\alpha)$, $\vec b=(-5,~4,~\alpha-1)$ и $\vec c=(1;~1;~11)$ компланарны.
Ответ:
Решение:
Треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A(6,~7,~10)$, $B(3,~-4,~1)$, $C(6,~1,~5)$ проецируется на некоторую плоскость, проходящую через вершину $A$, в отрезок $B'C'$, причем $B'C'=BC$. Написать уравнение плоскости проекции.
Ответ:
Решение:
Найти координаты точки, симметричной точке $(5,~4,~9)$ относительно прямой $\displaystyle \frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{4}$.
Ответ:
Решение:
Найти координаты точки, симметричной точке $(3,~5,~10)$ относительно прямой $\displaystyle \frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{4}$.
Ответ:
Решение:
Даны координаты точек: $A(1, 2, 3)$, $B(x+2, 2-x, 9)$ и $C(x-2, 4, 0)$. Найти $x$, при которых $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AC}$.
Ответ:
Решение:
Найти координаты точки, симметричной точке $(3,~9,~8)$ относительно прямой $\displaystyle \frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{4}$.
Ответ:
Решение:
Найти координаты точки, симметричной точке $(7,~-1,~10)$ относительно прямой $\displaystyle \frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{4}$.
Ответ:
Решение:
Найти $\angle A$ в $\triangle ABC$ с вершинами в точках $A(3, 1, 0)$, $B(4, 2, -2)$ и $C(3, 2, -1)$.
Ответ:
Решение: