Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 561
Числа $x_1$, $x_2$, $x_3$ являются корнями уравнения $x^3-6x^2+7x-1=9$. При каких значениях $a$, $b$, $c$ корнями уравнения $x^3+ax^2+bx+c=0$ являются числа $x_1+x_2$, $x_2+x_3$ и $x_3+x_1$?
Ответ:
Решение:
Уравнение \[ x^3+\left(23+10\sqrt3\right)x=\left(10+\sqrt3\right)x^2+23\sqrt3 \] имеет три корня: $a$, $b$ и $c$. Какие значения может принимать объем параллелепипеда со сторонами $a+1$, $b+1$, $c+1$?
Ответ:
Решение:
Уравнение \[ x^3+\left(13+8\sqrt2\right)x=\left(8+\sqrt2\right)x^2+13\sqrt2 \] имеет три корня: $a$, $b$ и $c$. Какие значения может принимать объем параллелепипеда со сторонами $a+1$, $b+1$, $c+1$?
Ответ:
Решение:
Найти все значения $a$, при каждом из которых уравнение \[x^3-ax^2-(a^3-6a^2+5a+8)x-(a-3)^3=0\] имеет три различных корня, образующих геометрическую прогрессию (укажите эти корни).
Ответ:
Решение:
Дана бесконечная числовая последовательность $a_1, a_2, \ldots$, о которой известно следующее: $a_1=20$, $a_{n+1}=a_na_{n+2}$, $n\in\mathbb{N}$. Найдите все значения, которые может принимать $a_{2014}$.
Ответ:
Решение:
Последовательность чисел задана следующим образом: $a_1=0$, $a_2=1$ и $a_{n+1}=4(a_n-a_{n-1})$ при $n\geqslant2$. Найдите наименьший положительный член последовательности, кратный $2014$. В ответе укажите номер этого члена.
Ответ:
Решение:
Последовательность $a_n$ задана формулами $a_1=\frac{4043}{2022}$, $a_{n+1}=a_n^3-3a_n^2+3a_n$. Найдётся ли натуральное число $n$ такое, что $|a_n|\leqslant\frac{2022}{2021}$? Обоснуйте свой ответ.
Ответ:
Решение:
Дана последовательность чисел, члены которой удовлетворяют соотношению: \[ b_n\cdot b_{n-2}^3=b_{n-3}\cdot b_{n-1}^3 \] при всех $n=4,5,6\ldots$ Найдите $b_{2023}$, если известно, что $b_1=2$, $b_2=1$, $b_3=2$.
Ответ:
Решение:
Для функции $f(x)=-\frac{x^2}{1+x^2}$ найдите сумму \[ f\left(\dfrac{1}{2018}\right)+f\left(\dfrac{1}{2017}\right)+\ldots+f\left(\dfrac12\right)+f(1)+f(2)+\ldots+f(2017)+f(2018). \]
Ответ:
Решение:
Последовательность $a_n$ задана следующим образом: \[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+\frac{2a_n}{n}\quad(\text{при } n\geqslant1). \] Найдите $a_{100}$.
Ответ:
Решение:
Последовательность $a_n$ задана следующим образом: \[ a_1=2,\quad a_{n+1}=a_n+\dfrac{2a_n}{n}\quad (\text{при } n\geqslant 1). \] Найдите $a_{100}$.
Ответ:
Решение:
Последовательность $a_n$ задана следующим образом: \[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+\dfrac{2a_n}{n}\quad (\text{при } n\geqslant 1). \] Найдите $a_{200}$.
Ответ:
Решение:
Последовательность $a_n$ задана следующим образом: \[ a_1=2,\quad a_{n+1}=a_n+\dfrac{2a_n}{n}\quad (\text{при } n\geqslant 1). \] Найдите $a_{200}$.
Ответ:
Решение:
Последовательность $a_n$ задана следующим образом: \[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+\dfrac{2a_n}{n}\quad (\text{при } n\geqslant 1). \] Найдите $a_{999}$.
Ответ:
Решение:
Последовательность $a_n$ задана следующим образом: \[ a_1=2,\quad a_{n+1}=a_n+\dfrac{2a_n}{n}\quad (\text{при } n\geqslant 1). \] Найдите $a_{999}$.
Ответ:
Решение:
Вычислите \[ \operatorname{tg}\left(\operatorname{arctg}\frac{2-1}{2^3-1}+\operatorname{arctg}\frac{3-1}{3^3-1}+\ldots+\operatorname{arctg}\frac{100-1}{100^3-1}\right). \]
Ответ:
Решение:
Пусть $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{2012}$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$, причём $\cos\alpha_k\neq 0$ для всех $k=1,2,\ldots,2012$ и \[\frac{1}{\cos\alpha_1\cdot\cos\alpha_2}+\frac{1}{\cos\alpha_2\cdot\cos\alpha_3}+\ldots+\frac{1}{\cos\alpha_{2011}\cdot\cos\alpha_{2012}}=0.\] Найдите все возможные значения $d$, не превосходящие по модулю $\pi$.
Ответ:
Решение:
Две смежные боковые грани пирамиды, в основании которой лежит квадрат, перпендикулярны плоскости основания. Двугранный угол между двумя другими боковыми гранями равен $\frac{2\pi}{3}$. Найдите отношение высоты пирамиды к стороне основания.
Ответ:
Решение:
В основании пирамиды $SABC$ лежит треугольник $ABC$ со сторонами $AB=BC=3\sqrt2$ и $AC=2\sqrt6$. Высота пирамиды равна $\sqrt6$ и видна из вершин $A$ и $C$ под одним и тем же углом, равным $\arcsin\frac{1}{\sqrt3}$. Под каким углом она видна из вершины $B$?
Ответ:
Решение:
Через точки $M$, $N$, $K$, $L$, лежащие соответственно на рёбрах $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ ($S$ — вершина), проведена плоскость. Известно, что $MK\perp NL$, $SN=3\cdot SL$ и площадь треугольника $SMK$ равна 12. Найдите площадь треугольника $SLN$.
Ответ:
Решение: