Поиск задач

Муха ползет из нижней левой вершины $M$ в верхнюю правую вершину $N$ решетки $3\times 5$, случайным образом выбрав один из кратчайших равновозможных маршрутов на этой решетке (на рисунке показан один из таких путей). Иногда она поворачивает налево, иногда — направо. Нас интересует, сколько поворотов сделает муха. Найдите математическое ожидание этой случайной величины.

В тесте бесконечно много вопросов, на каждый из которых можно ответить «да» или «нет». Коля отвечает на вопросы до тех пор, пока на очередной вопрос он не ответит неправильно: при первой же ошибке тест завершается.
Всего у Коли 10 попыток сдать тест. В каждой следующей попытке ни вопросы, ни их порядок не меняются. Так продолжается до тех пор, пока Коля не исчерпает все попытки.
Ответов Коля не знает и поэтому на все вопросы отвечает наугад. Зато он пользуется информацией, полученной в предыдущих попытках: если с первого раза Коля не угадал ответ на новый для себя вопрос, то в следующей попытке он ответит на него верно.
Найдите математическое ожидание числа вопросов, на которые Коля в конце концов ответит верно.

Беспроигрышная лотерея устроена по следующим правилам. Игрок покупает лотерейный билет за $n$ рублей, причём цену он назначает сам ($n$ — целое, большее 1). Затем генератор случайных чисел выбирает случайное натуральное число из отрезка от 1 до $n$ включительно. Выигрыш игрока равен сумме делителей выбранного числа в рублях. Может ли игрок назначить цену лотерейного билета так, чтобы математическое ожидание выигрыша было больше его затрат?

В тесте 20 вопросов, на каждый из которых можно ответить «да» или «нет». За каждый верный ответ Коля получает 1 балл. Коля отвечает на вопросы до тех пор, пока на очередной вопрос он не ответит неправильно: при первой же ошибке тест завершается.
Всего у Коли 10 попыток сдать тест. В каждой следующей попытке ни вопросы, ни их порядок не меняются. Так продолжается до тех пор, пока Коля не ответит верно на все вопросы или не исчерпает все попытки.
На все вопросы Коля отвечает наугад, поскольку ответов он не знает. Зато он пользуется информацией, полученной в предыдущих попытках: если с первого раза Коля не угадал ответ на новый для себя вопрос, то в следующей попытке он ответит на него верно.
а) Какое наименьшее гарантированное количество баллов получит Коля?
б) Что более вероятно: что Коля получит 20 баллов или что он получит меньше 20 баллов?

В двух коробках лежали белые и красные шары, причём в первой коробке на 4 белых шара приходилось 3 красных, а во второй коробке на 3 белых шара приходилось 2 красных. Все шары ссыпали в один мешок, хорошо перемешали и теперь из мешка собираются вынуть один случайный шар. Три математика делают прогнозы.
Первый: «Шар окажется белым с вероятностью $\frac{7}{12}$».
Второй: «Шар окажется белым с вероятностью $\frac{11}{19}$».
Третий: «Шар окажется белым с вероятностью $\frac{19}{35}$».
Кто из математиков может оказаться прав?

В лотерейном билете напечатаны номера от 1 до 45. Двое участников лотереи независимо друг от друга зачеркивают в своих билетах по 6 номеров. Первый выбирает номера совершенно случайным образом, а второй следует правилу: среди его номеров должно быть ровно два однозначных числа, при этом чётных и нечётных должно быть поровну. Какова вероятность того, что в их комбинациях окажется ровно один общий зачёркнутый номер? Результат округлите до тысячных.

Алиса и Василиса коллекционируют наклейки с персонажами мультфильмов. Всего в коллекции 20 разных персонажей. У Алисы уже есть 14 разных наклеек, а у Василисы — 16. Какова вероятность того, что, объединив свои наклейки, они смогут выбрать из них полную коллекцию? Ответ округлите до тысячных.

Множество, состоящее из $n$ последовательных натуральных чисел, назовём отрезком натурального ряда длиной $n$.
Из некоторого отрезка натурального ряда длиной $n$ случайным образом выбирают 15 чисел. При каком $n$ окажется наибольшей вероятность того, что среди выбранных окажутся числа 21, 190 и 2025?

В ящике $n$ пронумерованных шаров. Шары вынимали по одному в случайном порядке. Каждый раз вынутый шар возвращали в ящик и шары перемешивали перед следующим извлечением. Случилось так, что в четвертый раз вынули шар, который уже вынимали прежде, а перед этим повторов не было. При каком $n$ вероятность этого события наибольшая?

Группа, в которой 27 студентов, сдает письменный зачёт по решению олимпиадных задач. Преподаватель заготовил зачётную работу в 3 вариантах и распределяет варианты случайным образом с единственным условием: количество тех, кто получил разные варианты, должно отличаться не больше чем на единицу. Перед зачётом между студентами Сергеем и Алексеем состоялся следующий диалог.
С: Вероятность того, что у нас с тобой окажется один и тот же вариант, равна $1/3$.
А: Если сегодня кто-то один не придёт на зачёт, то она окажется меньше, чем была бы, если бы пришли все.
С: Если сегодня не придут двое, то она окажется меньше, чем была бы, если бы не пришёл кто-то один.
а) Верно ли первое утверждение Сергея?
б) Верно ли утверждение Алексея?
в) Верно ли второе утверждение Сергея?

Турнир по олимпийской системе проходит в несколько туров: все игроки разбиваются на пары, проигравший в каждой паре выбывает из турнира, победители снова разбиваются на пары. Так происходит, пока не останется единственная пара игроков; победитель в этой паре объявляется победителем турнира, а проигравший занимает второе место. Провести олимпийский турнир можно, если число игроков является степенью числа 2.
Однажды 96 теннисистов случайным образом разбились на две группы — малую, в которой 32 игрока и большую, в которой 64 игрока. Известно, что среди этих 96 теннисистов нет двух, играющих одинаково хорошо, и в любой встрече побеждает тот, кто играет лучше.
В малой группе был проведён Малый олимпийский турнир по теннису из пяти туров. В большой группе был проведён Большой олимпийский турнир из шести туров. Какова вероятность того, что при встрече победитель Малого турнира проиграет игроку, занявшему второе место в Большом турнире?

Симметричный игральный кубик бросают много раз. Какова вероятность того, что перед тем как первый раз выпадет грань с нечетным числом, все грани с четными числами выпадут хотя бы по разу?

У Вали в коробке $n$ синих и $k\leqslant n$ красных бусин. Она вынимает все бусины по очереди в случайном порядке, нанизывает их на нитку и связывает концы нитки. Найдите вероятность того, что в получившемся ожерелье никакие две красные бусины не окажутся рядом.

Некоторый числовой массив обладает тем свойством, что если к каждому числу прибавить число 2, то сумма квадратов чисел массива не изменится. Найдите среднее арифметическое массива.

При въезде автомобиля на платный участок дороги компьютерная система с помощью камеры определяет высоту кабины автомобиля, проходящего через пункт оплаты. Если высота меньше граничного значения $h_0$, то автомобиль считается легковым, в противном случае система определяет его как грузовой. От этого зависит плата за проезд по участку.
Иногда случаются ошибки: высокий легковой автомобиль система может ошибочно принять за грузовой, а небольшой грузовик — за легковушку.
На диаграммах показаны распределения высот легковых и грузовых автомобилей. Данные получены по представительной выборке и сгруппированы в интервалы шагом 5 см. На горизонтальной оси отмечены интервалы, на вертикальной — частоты значений из соответствующих интервалов. Определите граничное значение высоты $h_0$, при котором вероятность ошибки будет наименьшей.

В один прекрасный день некая крупная компания выпустила на рынок ценную бумагу. На следующий день эта бумага подорожала на 1 % по сравнению с ценой, которая была накануне. Через день на 2 % и так далее: на 10-й день бумага подорожала на 10 %. На сколько в среднем процентов дорожала эта бумага ежедневно? Результат округлите до сотых долей процента.

Среднее арифметическое отметок по математике в первой четверти у Васи равнялось 3,41 — с округлением вниз до сотых. Вася написал проверочную работу на пятёрку, но при этом его средний балл всё же не достиг 3,5. Какое наименьшее число отметок по математике могло быть у Васи до того, как он написал проверочную?

В круг встали 10 матросов, у каждого в руке поднятый флажок. Каждую секунду один случайный матрос, независимо от предыдущих событий, опускает свой флажок (если он был поднят) или поднимает (если флажок был опущен). Докажите, что событие «через некоторое время все флажки снова будут подняты» имеет вероятность 1.

Три мухи одновременно садятся на равносторонний треугольник — по одной мухе в каждую вершину. Каждую минуту после этого каждая муха моментально перелетает в другую вершину, выбирая её случайным образом независимо от других мух и предыдущих перелётов. Одновременно в вершине может оказаться больше одной мухи. Найдите математическое ожидание величины «время, через которое все три мухи окажутся в одной вершине».

Вершины правильного 25-угольника пронумерованы по порядку. В первой вершине находится крупинка сахара, а в третьей вершине сидит муравей. В какой-то момент он начинает беспорядочно ползать из вершины в вершину. Ровно за одну минуту он переползает из вершины, где находился, в соседнюю вершину. Направление дальнейшего движения в каждой вершине он выбирает случайно. Блуждание заканчивается, как только муравей найдет крупинку сахара. Найдите математическое ожидание случайной величины «продолжительность блуждания».