Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
Из суммы квадратов пяти последовательных натуральных чисел вычли число $10$ и получили куб натурального числа $N$, большего $6$. Найдите наименьшее возможное значение $N$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество натуральных чисел $k$, не превосходящих $445000$ и таких, что $k^2-1$ делится нацело на $445$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество натуральных чисел $k$, не превосходящих $333300$ и таких, что $k^2-2k$ делится нацело на $303$.
Ответ:
Решение:
Какое наименьшее значение может принимать сумма $20$ различных натуральных чисел таких, что
- ни одно из которых не делится ни на $2$, ни на $3$, ни на $5$, ни на $7$,
- сумма любых двух чисел делится на $2$,
- сумма любых трёх чисел делится на $3$,
- сумма любых пяти чисел делится на $5$,
- сумма любых семи чисел делится на $7$?
Ответ:
Решение:
Сколько пар натуральных чисел $(a;b)$ таких, что сумма $a+b$ чётна, удовлетворяют равенству \[ (a+1)a+7b=1\,000\,001? \]
Ответ:
Решение:
Найдите количество всех пар натуральных чисел $x, y$, при которых верно равенство \[ \sqrt[4]{10^x}+x^2+x+5y=10^{2101}. \]
Ответ:
Решение:
Найдите количество всех пар натуральных чисел $x,y$, при которых верно равенство \[ \sqrt[3]{10^x}+x^3+3x^2+x+5y=10^{1001}. \]
Ответ:
Решение:
Найдите максимальное значение $y$, при котором существует ровно два значения переменной $x$, удовлетворяющих уравнению $\sqrt{6-y}+\sqrt{y+2}=x^4-8x^2+20$.
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем значении параметра $a$ каждое решение неравенства \[ \log_{x+1}(3-ax)\gt 0 \] удовлетворяет неравенству $x^2+\dfrac{2a-5}{2a}x-\dfrac{5}{2a}\gt 0$?
Ответ:
Решение:
Найдите, при каких значениях параметра $a$ система уравнений \[ \begin{cases} x^2-y+a=0,\\ x+y^2+a=0. \end{cases} \] имеет единственное решение.
Ответ:
Решение:
При каком значении параметра $c$ найдётся такой угол $\alpha$, что числа $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ являются корнями квадратного уравнения $8x^2+6x+c=0$?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $b$, для каждого из которых существует число $\alpha$, такое, что уравнение \[ x^2+(\sin\alpha+3\cos\alpha)x+b=0 \] имеет действительное решение.
Ответ:
Решение:
При каком наибольшем значении параметра $b$ существует такое $\alpha$, что уравнение \[ x^2+(2\sin\alpha+3\cos\alpha)x+b=0 \] имеет действительное решение?
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее целое значение параметра $a$, при котором уравнение \[ 5\sin^2 x-2a\sin x\cos x+8\cos^2 x=4 \] не имеет решений.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее целое значение параметра $a$, при котором уравнение \[ \sqrt{3-\dfrac{a^2}{25}}\,\sin x+\dfrac{a}{10}\cos x=\sqrt{2} \] имеет хотя бы одно решение.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $p$, при которых уравнение \[ p\cos 3x+3(p+4)\cos x=6\cos 2x+10 \] имеет хотя бы одно решение. Решите это уравнение при всех таких $p$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ a+\frac{x^2}{a}=\max\left(2+\frac{x}{a};\,1-\frac{2x}{a}\right) \] имеет нечётное количество решений?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых система уравнений \[ \begin{cases} |x-1|+|x+1|-2y=0,\\ x^2+y^2-2ay+2a=1 \end{cases} \] имеет ровно три различных решения.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $b$, при которых система уравнений \[ \begin{cases} y=|b-x^2|,\\ y=a(x-b) \end{cases} \] имеет решение при любом значении параметра $a$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств \[ \begin{cases} x^2+y^2-a^2\leqslant 6x-4y-13,\\ x^2+y^2-4a^2\leqslant 8y-10x+4a-40 \end{cases} \] имеет ровно одно решение.
Ответ:
Решение: