Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
Точка $O$ — центр окружности $\omega_1$, описанной около остроугольного треугольника $ABC$. Окружность $\omega_2$, описанная около треугольника $BOC$, пересекает отрезок $AB$ в точке $P$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AP=\dfrac{15}{2}$, $BP=5$, $AC=9$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $BA$ и $BC$ треугольника $ABC$ с тупым углом $B$ как на диаметрах построены окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ соответственно, пересекающиеся в точках $B$ и $D$. Хорда $BE$ окружности $\omega_1$ перпендикулярна $BC$, а хорда $BF$ окружности $\omega_2$ перпендикулярна $CE$ и касается $\omega_1$. Найдите отношение $BF:BD$, если $\cos\angle BCE=\dfrac{3}{5}$.
Ответ:
Решение:
Окружность $\omega$ касается оснований $AD$ и $BC$ равнобокой трапеции $ABCD$ в их серединах и пересекает боковую сторону $AB$ в точках $K$ и $L$ таких, что $K$ лежит между $A$ и $L$, а $AK=24$, $KL=30$, $BL=10$. Найдите квадрат радиуса окружности $\omega$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AN$. Обозначим через $Q$ точку пересечения продолжения высоты $BP$ треугольника $ABC$ за точку $P$ с описанной около этого треугольника окружностью $\omega$. Найдите площадь треугольника $BCQ$, если $BC=24$, углы $\angle BNA$ и $\angle BAC$ равны, а радиус окружности $\omega$ равен 13.
Ответ:
Решение:
В окружности $\omega$ проведены три хорды $AB$, $AC$ и $AD$ так, что углы $\angle BAC$ и $\angle DAC$ равны между собой. Найдите хорду $BD$, если $AB=\sqrt{2}$, $AC=3$, $AD=\frac{5\sqrt{2}}{2}$. Ответ округлите до третьего знака после запятой.
Ответ:
Решение:
Две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ равного радиуса $10$ пересекаются в точках $B$ и $C$. На окружности $\omega_1$ выбрана точка $A$, которая не лежит внутри $\omega_2$. Луч $AB$ пересекает $\omega_2$ в точке $D$, причём $B$ лежит на отрезке $AD$. Точка $E$ симметрична точке $D$ относительно точки $C$. Найдите $AE$, если $AD=25$, $BC=15$. Ответ округлите до двух знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$, а затем на отрезке $CH$ как на диаметре построена окружность. Точки $M$, $N$ и $P$ отмечены, как показано на рисунке. Найдите отношение $BH:CH$, если $(MP\cdot NP):CP^2=0{,}75$ и $AH:CH=0{,}5$.
Ответ:
Решение:
Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=8$, $BC=6$, вписана в окружность. Хорда $EF$ окружности, содержащая среднюю линию трапеции, имеет длину $3\sqrt{11}$. Какую длину имеет хорда $PQ$, параллельная $EF$, проходящая через точку $S$ на стороне $AB$ такую, что $AS:BS=4:3$? В ответ напишите квадрат искомой величины.
Ответ:
Решение:
На медиане $AM$ треугольника $ABC$ выбрана точка $K$ так, что $\angle BAC+\angle BKC=180^\circ$. Известно, что $AB=10$, $CK=4$, $AC=8$. Найдите $BK$.
Ответ:
Решение:
Вокруг равнобедренного остроугольного треугольника $NPQ$ с основанием $NQ$ описана окружность $\Omega$. Точка $F$ — середина дуги $PN$, не содержащей точки $Q$. Известно, что расстояния от точки $F$ до прямых $PN$ и $QN$ равны соответственно $5$ и $\dfrac{20}{3}$. Найдите радиус окружности $\Omega$ и площадь треугольника $NPQ$.
Ответ:
Решение:
Вокруг равнобедренного остроугольного треугольника $NPQ$ с основанием $NQ$ описана окружность $\Omega$. Расстояние от середины дуги $PN$, не содержащей точки $Q$, до стороны $PN$ равно $4$, а расстояние от середины дуги $QN$, не содержащей точки $P$, до стороны $QN$ равно $0{,}4$. Найдите радиус окружности $\Omega$ и площадь треугольника $NPQ$.
Ответ:
Решение:
Равнобедренный треугольник $PQT$ с основанием $PQ$ вписан в окружность $\Omega$. Хорды $AB$ и $CD$, параллельные прямой $PQ$, пересекают сторону $QT$ в точках $L$ и $M$ соответственно, и при этом $QL=LM=MT$. Найдите радиус окружности $\Omega$ и площадь треугольника $PQT$, если $AB=2\sqrt{14}$, $CD=2\sqrt{11}$, а центр $O$ окружности $\Omega$ расположен между прямыми $AB$ и $CD$.
Ответ:
Решение:
Окружность проходит через вершины $Q$ и $E$ треугольника $MQE$ и пересекает его стороны $MQ$ и $ME$ соответственно в точках $B$ и $D$, отличных от вершин треугольника. Отношение площади треугольника $BDM$ к площади треугольника $MQE$ равно $9/121$.
а) Найдите отношение $QE:BD$.
б) Пусть дополнительно известно, что отношение площадей треугольников $BME$ и $DQM$ равно $4$. Найдите отношение $BQ:DE$.
а) Найдите отношение $QE:BD$.
б) Пусть дополнительно известно, что отношение площадей треугольников $BME$ и $DQM$ равно $4$. Найдите отношение $BQ:DE$.
Ответ:
Решение:
Дан параллелограмм $ABCD$. Окружность $\Omega$ с диаметром 13 описана вокруг треугольника $ABM$, где $M$ — точка пересечения диагоналей данного параллелограмма. $\Omega$ вторично пересекает луч $CB$ и отрезок $AD$ в точках $E$ и $K$ соответственно. Длина дуги $AE$ в два раза больше длины дуги $BM$ (дуги $AE$ и $BM$ не имеют общих точек). Длина отрезка $EM$ равна 12. Найдите длины отрезков $BC$, $BK$ и периметр треугольника $AKM$.
Ответ:
Решение:
Хорды $AB$ и $CD$ окружности $\Gamma$ с центром $O$ имеют длину 4. Продолжения отрезков $BA$ и $CD$ соответственно за точки $A$ и $D$ пересекаются в точке $P$. Прямая $PO$ пересекает отрезок $AC$ в точке $L$, причём $AL:LC=1:4$.
а) Найдите $AP$.
б) Пусть дополнительно известно, что радиус окружности $\Gamma$ равен 3, а точка $T$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ACP$. Найдите длину отрезка $PT$ и площадь треугольника $ACP$.
а) Найдите $AP$.
б) Пусть дополнительно известно, что радиус окружности $\Gamma$ равен 3, а точка $T$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ACP$. Найдите длину отрезка $PT$ и площадь треугольника $ACP$.
Ответ:
Решение:
Хорды $AB$ и $CD$ окружности $\Gamma$ с центром $O$ имеют длину 4. Продолжения отрезков $BA$ и $CD$ соответственно за точки $A$ и $D$ пересекаются в точке $P$. Прямая $PO$ пересекает отрезок $AC$ в точке $L$, причём $AL:LC=2:3$.
а) Найдите $AP$.
б) Пусть дополнительно известно, что радиус окружности $\Gamma$ равен 2,5, а точка $T$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ACP$. Найдите длину отрезка $PT$ и площадь треугольника $ACP$.
а) Найдите $AP$.
б) Пусть дополнительно известно, что радиус окружности $\Gamma$ равен 2,5, а точка $T$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ACP$. Найдите длину отрезка $PT$ и площадь треугольника $ACP$.
Ответ:
Решение:
а) Две окружности одинакового радиуса 5 пересекаются в точках $A$ и $B$. На первой окружности выбрана точка $C$, а на второй — точка $D$. Оказалось, что точка $B$ лежит на отрезке $CD$, а $\angle CAD=90^\circ$. На перпендикуляре к $CD$, проходящем через точку $B$, выбрана точка $F$ так, что $BF=BD$ (точки $A$ и $F$ расположены по одну сторону от прямой $CD$). Найдите длину отрезка $CF$.
б) Пусть дополнительно известно, что $BC=6$. Найдите площадь треугольника $ACF$.
б) Пусть дополнительно известно, что $BC=6$. Найдите площадь треугольника $ACF$.
Ответ:
Решение:
а) Две окружности одинакового радиуса 5 пересекаются в точках $A$ и $B$. На первой окружности выбрана точка $C$, а на второй — точка $D$. Оказалось, что точка $B$ лежит на отрезке $CD$, а $\angle CAD=90^\circ$. На перпендикуляре к $CD$, проходящем через точку $B$, выбрана точка $F$ так, что $BF=BD$ (точки $A$ и $F$ расположены по разные стороны от прямой $CD$). Найдите длину отрезка $CF$.
б) Пусть дополнительно известно, что $BC=6$. Найдите площадь треугольника $ACF$.
б) Пусть дополнительно известно, что $BC=6$. Найдите площадь треугольника $ACF$.
Ответ:
Решение:
Две окружности одинакового радиуса 9 пересекаются в точках $A$ и $B$. На первой окружности выбрана точка $C$, а на второй — точка $D$. Оказалось, что точка $B$ лежит на отрезке $CD$, а $\angle CAD=90^\circ$. На перпендикуляре к $CD$, проходящем через точку $B$, выбрана точка $F$ так, что $BF=BD$ (точки $A$ и $F$ расположены по разные стороны от прямой $CD$). Найдите длину отрезка $CF$.
Ответ:
Решение:
Равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$) вписан в окружность $\omega$, а на дуге $AC$, не содержащей точку $B$, взяты точки $E$ и $D$ так, что отрезки $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $F$. На лучах $EA$ и $DC$ отметили точки $X$ и $Y$ соответственно таким образом, что $AX=CF$ и $CY=AF$. Найдите площадь четырёхугольника $BXFY$, если $BF=17$, $XY=31$.
Ответ:
Решение: