Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
В основании четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит квадрат $ABCD$ со стороной $AB=18$. На продолжении диагонали $CA$ за точку $A$ выбрана точка $H$ так, что $AH=3CA$. Отрезок $SH=4$ перпендикулярен плоскости основания пирамиды. Какой наибольший объём $V$ может иметь цилиндр, расположенный внутри пирамиды так, что одно из его оснований лежит на основании пирамиды? В ответе укажите величину $V/\pi$.
Ответ:
Решение:
В основании четырёхугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит ромб $ABCD$, в котором $CD=3$ и $\angle ABD=30^\circ$. Сфера проходит через вершины $D$, $C$, $B$, $B_1$, $A_1$, $D_1$.
а) Найдите площадь круга, полученного в сечении сферы плоскостью, проходящей через точки $A$, $C$ и $D$.
б) Найдите угол $C_1AB$.
в) Пусть дополнительно известно, что радиус сферы равен $6$. Найдите объём призмы.
а) Найдите площадь круга, полученного в сечении сферы плоскостью, проходящей через точки $A$, $C$ и $D$.
б) Найдите угол $C_1AB$.
в) Пусть дополнительно известно, что радиус сферы равен $6$. Найдите объём призмы.
Ответ:
Решение:
Дана правильная призма $KLMNK_1L_1M_1N_1$ с основанием $KLMN$. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны $L_1N$ и проходят через вершины $K$ и $N_1$ соответственно. Пусть $A$ и $B$ соответственно — точки пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ с диагональю $L_1N$, при этом $AN\lt BN$.
а) Найдите отношение $L_1B:AN$.
б) Пусть дополнительно известно, что сфера радиуса $1/2$ касается всех боковых граней призмы, а также плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Найдите отрезок $L_1N$ и объём призмы $KLMNK_1L_1M_1N_1$.
а) Найдите отношение $L_1B:AN$.
б) Пусть дополнительно известно, что сфера радиуса $1/2$ касается всех боковых граней призмы, а также плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Найдите отрезок $L_1N$ и объём призмы $KLMNK_1L_1M_1N_1$.
Ответ:
Решение:
Дана прямая треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Сфера с диаметром $AC$ пересекает рёбра $AB$ и $BC$ соответственно в точках $F$ и $N$, отличных от вершин призмы. Отрезки $C_1F$ и $A_1N$ пересекаются в точке $P$, и при этом $A_1N=7$, $C_1P=6$.
а) Найдите угол $PFA$.
б) Найдите отношение $AF:FB$.
в) Пусть дополнительно известно, что $AB=6$. Найдите объём призмы.
а) Найдите угол $PFA$.
б) Найдите отношение $AF:FB$.
в) Пусть дополнительно известно, что $AB=6$. Найдите объём призмы.
Ответ:
Решение:
Основание треугольной пирамиды $ABCD$ — правильный треугольник $ABC$. Объём пирамиды равен $\dfrac{25}{\sqrt3}$, а её высота, проведённая из вершины $D$, равна $3$. Точка $M$ — середина ребра $CD$. Известно, что радиусы сфер, вписанных в пирамиды $ABCM$ и $ABDM$, равны между собой.
а) Найдите все возможные значения угла между гранями пирамиды при ребре $AB$.
б) Найдите все возможные значения длины ребра $CD$, если дополнительно известно, что грани $BCD$ и $ABC$ взаимно перпендикулярны.
а) Найдите все возможные значения угла между гранями пирамиды при ребре $AB$.
б) Найдите все возможные значения длины ребра $CD$, если дополнительно известно, что грани $BCD$ и $ABC$ взаимно перпендикулярны.
Ответ:
Решение:
В правильный тетраэдр $KLMN$ с ребром $6\sqrt3$ вписана сфера $\Omega$. Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ расположен так, что его диагональ $A_1C_1$ лежит на прямой $KL$, а прямая $BD$ касается сферы $\Omega$ в точке, лежащей на отрезке $BD$. Какую наименьшую площадь поверхности может иметь куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$? Ответ округлите до десятых.
Ответ:
Решение:
В пирамиду $SABC$ вписан прямой круговой цилиндр так, что одно основание (с центром $O$) лежит в треугольнике $ABC$, а другое касается граней $SAB$, $SAC$ и $SBC$. Высота пирамиды $SH$ вдвое больше высоты цилиндра. Пусть $M$ — геометрическое место точек $H$, а $N$ — геометрическое место точек $O$. Найдите площадь $M$, если площадь $N$ равна $S$.
Ответ:
Решение:
На рёбрах $AC$, $BC$, $BS$, $AS$ правильной треугольной пирамиды $SABC$ с вершиной $S$ выбраны точки $K$, $L$, $M$, $N$ соответственно. Известно, что точки $K$, $L$, $M$, $N$ лежат в одной плоскости, причём $KL=MN=2$, $KN=LM=18$. В четырёхугольнике $KLMN$ расположены две окружности $\Omega_1$ и $\Omega_2$, причём окружность $\Omega_1$ касается сторон $KN$, $KL$ и $LM$, а окружность $\Omega_2$ касается сторон $KN$, $LM$ и $MN$. Прямые круговые конусы $\mathcal F_1$ и $\mathcal F_2$ с основаниями $\Omega_1$ и $\Omega_2$ соответственно расположены внутри данной пирамиды, причём вершина $P$ конуса $\mathcal F_1$ лежит на ребре $AB$, а вершина $Q$ конуса $\mathcal F_2$ лежит на ребре $CS$.
а) Найдите $\angle SAB$.
б) Найдите длину отрезка $CQ$.
а) Найдите $\angle SAB$.
б) Найдите длину отрезка $CQ$.
Ответ:
Решение:
Дана пирамида $ABCD$, вершина $A$ которой лежит на одной сфере с серединами её рёбер, кроме ребра $AD$. Известно, что $AB=1$, $BD=2$, $CD=3$. Найдите длину ребра $BC$. Какой наименьший радиус может иметь сфера, описанная около данной пирамиды?
Ответ:
Решение:
Две стороны треугольника равны $34$ и $32$, а медиана, проведённая к третьей стороне, равна $17$. Найдите площадь треугольника.
Ответ:
Решение:
Длины сторон треугольника $ABC$ равны $13$, $22$ и $27$. $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ — его медианы, а $AA_2$, $BB_2$ и $CC_2$ — его высоты. Найдите длину замкнутой ломаной $A_1B_2C_1A_2B_1C_2A_1$.
Ответ:
Решение:
Точка $D$ — середина стороны $AC$ треугольника $ABC$, $DE$ и $DF$ — биссектрисы треугольников $ABD$ и $CBD$. Отрезки $BD$ и $EF$ пересекаются в точке $M$. Найдите отрезок $DM$, если $EF=6$.
Ответ:
Решение:
Биссектриса внутреннего угла при вершине $A$ и биссектриса внешнего угла при вершине $B$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $E$. Найдите $\angle BAC$, если $\angle BEC=69^\circ$. Ответ укажите в градусах.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом при вершине $B$ проведены биссектрисы $AP$ и $CQ$. Точки $M$ и $N$ — проекции точек $Q$ и $P$ на сторону $AC$ соответственно. Найдите $MN$, если расстояние от вершины $B$ до центра окружности, вписанной в треугольник $ABC$, равно $17\sqrt{2}$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и биссектриса $AD$; точка $H$ лежит между точками $B$ и $D$. Известно, что $BH=1$, $HD=3$, $CD=12$. Найдите $\sin\angle HAD$.
Ответ:
Решение:
$AZ$ и $CX$ — биссектрисы треугольника $ABC$, а $Y$ — их точка пересечения. Найдите длину стороны $AC$ этого треугольника, если $\angle ABY=\alpha$, площадь треугольника $ABC$ равна $S$, а площади треугольников $ABZ$ и $ACX$ равны.
Ответ:
Решение:
Медиана $AM$ треугольника $ABC$ равна $2$. На его стороне $AC$ выбрана такая точка $D$, что $BD=4$, а $\angle ADB=60^\circ$. Найдите расстояние от точки $M$ до прямой $AC$.
Ответ:
Решение:
Медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$, а их длины равны соответственно $30$, $24$ и $18$. Найдите площади треугольников $ABC$ и $OA_1C$, а также радиус окружности, описанной около треугольника $OA_1C$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ точка $D$ лежит на стороне $AC$, а точка $E$ лежит на отрезке $AD$. Известно, что углы $ABE$, $DBE$ и $CBD$ равны, а длина отрезка $DE$ вдвое меньше длины отрезка $CD$ и втрое меньше длины отрезка $AE$. Найдите углы $ABE$ и $ACB$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB\gt AC$ и $\angle A=40^\circ$. На стороне $AB$ взяли точку $D$ так, что $BD=AC$. Точка $M$ — середина стороны $BC$, точка $N$ — середина отрезка $AD$. Найдите угол $BNM$.
Ответ:
Решение: