Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1597
Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел такая, что для любого натурального $k$ сумма любых $k$ идущих подряд членов этой последовательности делится на $k+1$?
Ответ:
Решение:
Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составлены девять (не обязательно различных) девятизначных чисел; каждая из цифр использована в каждом числе ровно один раз. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться сумма этих девяти чисел?
Ответ:
Решение:
Пусть $S$ — множество, состоящее из натуральных чисел. Оказалось, что для любого числа $a$ из множества $S$ существуют два числа $b$ и $c$ из множества $S$ такие, что $a=\dfrac{b(3c-5)}{15}$. Докажите, что множество $S$ бесконечно.
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее натуральное число $n$, для которого произведение чисел $n$, $n+1$, $n+2$, …, $n+20$ делится на квадрат какого-то одного из них.
Ответ:
Решение:
Пусть $p$ и $q$ — различные простые числа. Дана бесконечная убывающая арифметическая прогрессия, в которой встречается каждое из чисел $p^{23}$, $p^{24}$, $q^{23}$ и $q^{24}$. Докажите, что в этой прогрессии обязательно встретятся числа $p$ и $q$.
Ответ:
Решение:
Существует ли такое натуральное число $n$, что для каких-то трёх его делителей $a, b, c$, больших 1, произведение $(a-1)(b-1)(c-1)$ делится на $n^2$?
Ответ:
Решение:
Дано нечётное число $n\gt 10$. Найдите количество способов расставить по кругу в некотором порядке натуральные числа $1, 2, 3, \ldots, n$ так, чтобы каждое число являлось делителем суммы двух соседних с ним чисел. (Способы, отличающиеся поворотом или отражением, считаются одинаковыми.)
Ответ:
Решение:
Пусть $n$ — натуральное число. Целое число $a\gt 2$ назовем $n$-разложимым, если $a^n-2^n$ делится на каждое число вида $a^d+2^d$, где $d$ — натуральный делитель $n$, отличный от $n$. Найдите все составные натуральные $n$, для которых существует $n$-разложимое число.
Ответ:
Решение:
Даны натуральные $a$, $b$, $c$ такие, что $a\gt 1$, $b\gt c\gt 1$, а число $abc+1$ делится на $ab-b+1$. Докажите, что $b$ делится на $a$.
Ответ:
Решение:
Даны натуральные числа $a$, $b$ и $c$. Ни одно из них не кратно другому. Известно, что число $abc+1$ делится на $ab-b+1$. Докажите, что $c\geqslant b$.
Ответ:
Решение:
Назовем натуральное число однобоким, если оно больше 1, и все его простые делители заканчиваются на одну и ту же цифру. (Например, числа 19 и $117=3\cdot3\cdot13$ — однобокие, а число $682=2\cdot11\cdot31$ — нет.) Существует ли возрастающая арифметическая прогрессия с разностью, не превышающей 2025, состоящая из 150 натуральных чисел, каждое из которых — однобокое?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Натуральное число называется палиндромом, если оно не изменяется при записывании его цифр в обратном порядке (например, 626 — палиндром, а 2015 — нет). Представьте число 2015 в виде суммы двух палиндромов.
Ответ:
Решение:
Аня перемножила 20 двоек, а Ваня перемножил 17 пятёрок. Теперь они собираются перемножить свои огромные числа. Какова будет сумма цифр произведения?
Ответ:
Решение:
В трёхзначном числе первую цифру (разряд сотен) увеличили на 3, вторую — на 2, третью — на 1. В итоге число увеличилось в 4 раза. Приведите пример такого исходного числа.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Алла загадала трёхзначное число, в котором нет цифры 0, и все цифры различны. Белла записала число, в котором те же цифры идут в обратном порядке. Галя вычла из большего числа меньшее. Какая цифра стоит у полученной разности в разряде десятков?
Ответ:
Решение:
Вася загадал двузначное число, а затем приписал к нему слева цифру 1, а справа — цифру 8, отчего число увеличилось в 28 раз. Какое число мог загадать Вася? (Найдите все варианты и докажите, что других нет.)
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение: