Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1597
Натуральное число назовём счастливым, если в его десятичной записи каждая цифра — либо ноль, либо семёрка. Число 20232023 представили в виде суммы $n$ слагаемых, каждое из которых является счастливым числом. Найдите наименьшее возможное значение $n$.
Ответ:
Решение:
Знакопеременная сумма цифр числа — это его сумма цифр, в которой у каждой следующей цифры стоит знак, противоположный знаку у предыдущей цифры. Например,
- у числа 123 знакопеременная сумма цифр равна $1-2+3=2$;
- у числа 12 знакопеременная сумма цифр равна $1-2=-1$;
- у числа 1 знакопеременная сумма цифр равна 1.
Ответ:
Решение:
Натуральное число назовём хорошим, если для него выполняются все следующие условия:
- в его десятичной записи все цифры ненулевые;
- сумма его цифр равна 32;
- любая его цифра, кроме последних двух, является делителем суммы следующих за ней двух цифр.
Ответ:
Решение:
Найдите сумму цифр числа \[3\cdot{\underbrace{33\ldots3}_{100}}^3+2\cdot{\underbrace{11\ldots1}_{100}}^2+{\underbrace{55\ldots5}_{100}}^2+\underbrace{33\ldots3}_{100}.\]
Ответ:
Решение:
Петя выписал на доску выражение $1+2+\ldots+1000$. Его младший брат Вася в каждом числе вставил между всеми соседними цифрами знак умножения. Например, число 547 превратилось в $5\cdot 4\cdot 7$. Чему равно значение полученного выражения?
Ответ:
Решение:
У Пети есть натуральное число $N$. Он рассматривает все пары цифр числа $N$, одна из которых чётная, а другая нечётная, и записывает на доску произведение цифр в каждой паре. Например, если бы у него было число 2338, то на доске были бы записаны числа 6, 6, 24 и 24. Оказалось, что сумма чисел на доске равна 26. Какое минимальное $N$ могло быть у Пети?
Ответ:
Решение:
Назовём натуральное число интересным, если сумма его цифр — простое число. Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?
Ответ:
Решение:
На бесконечной ленте выписаны в порядке возрастания все натуральные числа с суммой цифр 2018. Какое число написано на 225-м месте?
Ответ:
Решение:
У натурального числа $N$ выписали все его делители, затем у каждого из этих делителей подсчитали сумму цифр. Оказалось, что среди этих сумм нашлись все числа от 1 до 9. Найдите наименьшее значение $N$.
Ответ:
Решение:
Произведение цифр натурального числа $n$ равно $x$, а произведение цифр числа $n+1$ равно $y$. Может ли так случиться, что произведение цифр некоторого натурального числа $m$ равно $y-1$, а произведение цифр числа $m+1$ равно $x-1$?
Ответ:
Решение:
Петя взял некоторые трехзначные натуральные числа $a_0$, $a_1$, …, $a_9$ и написал на доске уравнение \[ a_9x^9+a_8x^8+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0=*. \] Докажите, что Вася сможет вместо звездочки написать некоторое 30-значное натуральное число так, чтобы получившееся уравнение имело целый корень.
Ответ:
Решение:
Изначально на доске записано натуральное число. Затем каждую секунду к текущему числу прибавляют произведение всех его ненулевых цифр. Докажите, что найдётся натуральное $a$ такое, что прибавление числа $a$ случится бесконечное количество раз.
Ответ:
Решение:
Определим последовательность $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ формулой $a_n=\left[n^{\frac{2018}{2017}}\right]$. Докажите, что существует такое натуральное число $N$, что среди любых $N$ подряд идущих членов последовательности есть такой, десятичная запись которого содержит цифру 5. (Как обычно, через $[x]$ обозначается наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
Ответ:
Решение:
Докажите, что существует натуральное число $b$ такое, что при любом натуральном $n\gt b$ сумма цифр числа $n!$ не меньше $10^{100}$.
Ответ:
Решение:
Для натурального числа $N$ рассмотрим все различные точные квадраты, которые можно получить из $N$ вычёркиванием одной цифры в его десятичной записи. Докажите, что количество этих квадратов не превосходит некоторой величины, не зависящей от $N$.
Ответ:
Решение:
Робинзон Крузо каждый второй день пополняет запасы питьевой воды из источника, каждый третий день собирает фрукты и каждый пятый день ходит на охоту. Сегодня, 13 сентября, у Робинзона тяжёлый день: он должен делать все эти три дела. Когда у Робинзона будет следующий тяжёлый день?
Ответ:
Решение:
В мешке у Деда Мороза находятся меньше ста подарков для Пети, Васи, Бори и Лёши. Дед Мороз отдал половину подарков Пете, пятую часть — Васе, седьмую часть — Боре. Сколько подарков досталось Лёше?
Ответ:
Решение:
Маша и Оля купили в магазине много одинаковых ручек для нового учебного года. Известно, что одна ручка стоит целое число рублей, большее 10. Маша купила ручек ровно на 357 рублей, а Оля — ровно на 441 рубль. Сколько суммарно ручек они купили?
Ответ:
Решение:
Отец и сын несут одинаковые банки консервов. Масса каждой банки выражается целым числом граммов, не меньшим чем 300, но не большим чем 400. Отец несёт 6 кг 500 г, а сын — 2 кг 600 г. Сколько банок у отца и сколько у сына?
Ответ:
Решение:
Расстояние между городами А и Б составляет целое число километров. На дороге между городами каждый километр стоит табличка: на одной стороне написано расстояние до города А, на другой — до города Б. Слава шёл пешком из города А в город Б. В течение своего путешествия Слава посчитал для каждой таблички НОД чисел, написанных на ней. Оказалось, что среди посчитанных НОДов встречаются только числа 1, 3 и 13. Чему равняется расстояние между городами?
Ответ:
Решение: