Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 383
Какое наибольшее значение может принимать выражение \[\dfrac{1}{a+\frac{2010}{b+\frac1c}},\] где $a$, $b$, $c$ — попарно различные ненулевые цифры?
Ответ:
Решение:
Каждый отрезок с концами в вершинах правильного 100-угольника покрасили — в красный цвет, если между его концами четное число вершин, и в синий — в противном случае (в частности, все стороны 100-угольника красные). В вершинах расставили числа, сумма квадратов которых равна 1, а на отрезках — произведения чисел в концах. Затем из суммы чисел на красных отрезках вычли сумму чисел на синих. Какое наибольшее число могло получиться?
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ \operatorname{tg}\pi x=\left[\lg \pi^x\right]-\left[\lg\left[\pi^x\right]\right], \] где $[a]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $a$.
Ответ:
Решение:
Действительные числа $a$, $b$, $c$, $d$ таковы, что \[ a+\operatorname{arctg} b\gt c+\operatorname{arctg} d,\quad b+\operatorname{arctg} a\gt d+\operatorname{arctg} c. \] Докажите, что $a+b\gt c+d$.
Ответ:
Решение:
Пусть $x_0$ — положительный корень уравнения $x^{2017}-x-1=0$, а $y_0$ — положительный корень уравнения $y^{4034}-y=3x_0$.
а) Сравните $x_0$ и $y_0$.
б) Найдите десятый знак после запятой числа $|x_0-y_0|$.
а) Сравните $x_0$ и $y_0$.
б) Найдите десятый знак после запятой числа $|x_0-y_0|$.
Ответ:
Решение:
Незнайка знаком только с десятичными логарифмами и считает, что логарифм суммы двух чисел равен произведению их логарифмов, а логарифм разности двух чисел равен частному их логарифмов. Может ли Незнайка подобрать хотя бы одну пару чисел, для которой действительно верны одновременно оба этих равенства?
Ответ:
Решение:
В прошлом году Миша купил смартфон, который стоил целое четырёхзначное число рублей. Зайдя в магазин в этом году, он заметил, что цена смартфона выросла на $20\%$ и при этом состоит из тех же цифр, но в обратном порядке. Какую сумму Миша потратил на смартфон?
Ответ:
Решение:
Существует ли число, в десятичной записи квадрата которого имеется последовательность цифр «$2018$»?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
К каждому члену некоторой конечной последовательности подряд идущих натуральных чисел приписали справа по две цифры и получили последовательность квадратов подряд идущих натуральных чисел. Какое наибольшее число членов могла иметь эта последовательность?
Ответ:
Решение:
Существует ли такое натуральное число $n$, что числа $n$, $n^2$, $n^3$ начинаются на одну и ту же цифру, отличную от единицы?
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее натуральное число, все цифры в десятичной записи которого различны и которое уменьшается в 5 раз, если зачеркнуть первую цифру.
Ответ:
Решение:
Пользуясь равенством $\lg 11=1{,}0413\ldots$, найдите наименьшее число $n\gt 1$, для которого среди $n$-значных чисел нет ни одного, равного некоторой натуральной степени числа 11.
Ответ:
Решение:
У каждого из девяти натуральных чисел $n$, $2n$, $3n$, $\ldots$, $9n$ выписали первую слева цифру. Может ли при некотором натуральном $n$ среди девяти выписанных цифр быть не более четырёх различных?
Ответ:
Решение:
Саша обнаружил, что на калькуляторе осталось ровно $n$ исправных кнопок с цифрами. Оказалось, что любое натуральное число от $1$ до $99999999$ можно либо набрать, используя лишь исправные кнопки, либо получить как сумму двух натуральных чисел, каждое из которых можно набрать, используя лишь исправные кнопки. Каково наименьшее $n$, при котором это возможно?
Ответ:
Решение:
Докажите, что для любого натурального $n$ найдется натуральное число, десятичная запись квадрата которого начинается $n$ единицами, а заканчивается какой-то комбинацией из $n$ единиц и двоек.
Ответ:
Решение:
Существует ли 2016-значное число, перестановкой цифр которого можно получить 2016 разных 2016-значных полных квадратов?
Ответ:
Решение:
При каких натуральных $n$ для всякого натурального $k\geqslant n$ найдётся число с суммой цифр $k$, кратное $n$?
Ответ:
Решение:
Пусть $x$ и $y$ — пятизначные числа, в десятичной записи которых использованы все десять цифр ровно по одному разу. Найдите наибольшее возможное значение $x$, если \[ \operatorname{tg} x^\circ-\operatorname{tg} y^\circ=1+\operatorname{tg} x^\circ\operatorname{tg} y^\circ \] ($x^\circ$ обозначает угол в $x$ градусов).
Ответ:
Решение:
Толя хочет получить из данного натурального числа однозначное. Для этого разрешается расставить между цифрами плюсы произвольным образом и вычислить сумму (например, из числа $123456789$ можно получить $12345+6+789=13140$). С полученным числом снова разрешается сделать подобную операцию, и так далее. Докажите, что за 10 операций всегда можно получить однозначное число.
Ответ:
Решение: