Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 385
Семь различных камней таковы, что любые шесть из них вместе весят меньше 6 кг. Докажите, что все семь камней вместе весят меньше 7 кг.
Ответ:
Решение:
При каких $n$, больших 2, можно расставить в клетках таблицы размером $n\times n$ крестики и нолики (в каждой клетке — один знак) так, чтобы в каждом столбце таблицы, кроме одного, крестиков было больше, чем ноликов, а в каждой строке таблицы, кроме одной, ноликов было больше, чем крестиков?
Ответ:
Решение:
В каждой клетке таблицы $100\times100$ записано одно из чисел 1 или $-1$. Могло ли оказаться, что ровно в 99 строках суммы чисел отрицательны, а ровно в 99 столбцах — положительны?
Ответ:
Решение:
Квадрат со стороной 100 разрезали на квадраты (не обязательно одинаковые) со сторонами, параллельными сторонам исходного квадрата и меньшими 10. Докажите, что сумма периметров получившихся квадратов не меньше 4400.
Ответ:
Решение:
В группе из 79 школьников у каждого не более 39 знакомых, причем у любого мальчика есть знакомая девочка, а у любой девочки — знакомый мальчик. Может ли оказаться, что все девочки из этой группы имеют в ней поровну знакомых мальчиков, а все мальчики — поровну знакомых девочек? Все знакомства — взаимные.
Ответ:
Решение:
Можно ли пронумеровать вершины, рёбра и грани куба различными целыми числами от $-12$ до 13 так, чтобы номер каждой вершины равнялся сумме номеров сходящихся в ней рёбер, а номер каждой грани равнялся сумме номеров ограничивающих её рёбер?
Ответ:
Решение:
В классе учится больше 6, но меньше 60 учеников, и в нём организовано семь кружков. Каждый ученик класса посещает одинаковое количество кружков. Известно, что для любых двух кружков найдутся ровно три ученика, которые посещают их оба. Сколько учеников может быть в таком классе?
Ответ:
Решение:
В стране Эйлерии 101 город. Каждые два города соединены двусторонним беспосадочным рейсом одной из 99 авиакомпаний. Известно, что из каждого города выходят рейсы всех 99 компаний. Назовём треугольником три города, попарно соединённых рейсами одной и той же компании. Докажите, что в Эйлерии не больше одного треугольника.
Ответ:
Решение:
Имеется 70 переключателей и 15 ламп. Каждая лампа соединена с 35 переключателями. Никакие два переключателя не соединены с одним и тем же набором ламп. Нажатие на переключатель меняет состояние всех ламп, с которыми он соединён (включённые выключает и наоборот). Изначально все лампы выключены. Докажите, что можно нажать на какие-то 19 переключателей таким образом, чтобы включилось не менее восьми ламп.
Ответ:
Решение:
В лагерь приехали 99 школьников, причём все приехавшие имеют одно и то же ненулевое количество знакомых среди остальных. Группу ребят, обладающую тем свойством, что любой из приехавших, не входящий в эту группу, знаком с кем-то из этой группы, будем называть популярной. Докажите, что из любой популярной группы, содержащей более 49 ребят, можно выбрать популярную группу, содержащую ровно 49 ребят.
Ответ:
Решение:
Числа $1, 2, \ldots, 1000$ разбили на два множества по 500 чисел: красные $k_1$, $k_2$, $\ldots$, $k_{500}$ и синие $s_1$, $s_2$, $\ldots$, $s_{500}$. Докажите, что количество таких пар $m$ и $n$, у которых разность $k_m-s_n$ дает остаток 7 при делении на 100, равно количеству таких пар $m$ и $n$, у которых разность $s_n-k_m$ дает остаток 7 при делении на 100. Здесь рассматриваются все возможные разности, в том числе и отрицательные.
Напомним, что остатком от деления целого числа $a$ на 100 называется разность между числом $a$ и ближайшим числом, не большим $a$ и делящимся на 100. Например, остаток от деления числа 2022 на 100 равен $2022-2000=22$, а остаток от деления числа $-11$ на 100 равен $-11-(-100)=89$.
Напомним, что остатком от деления целого числа $a$ на 100 называется разность между числом $a$ и ближайшим числом, не большим $a$ и делящимся на 100. Например, остаток от деления числа 2022 на 100 равен $2022-2000=22$, а остаток от деления числа $-11$ на 100 равен $-11-(-100)=89$.
Ответ:
Решение:
В зашифрованном равенстве\[\text{АБ}+\text{АБ}+\text{АБ}+\text{АБ}+\text{АБ}+\text{АБ}+\text{АБ}+\text{АБ}+\text{АБ}=\text{ААБ}\]цифры заменены буквами: одинаковые цифры — одной и той же буквой, а разные — разными буквами. Найдите все возможные расшифровки.
Ответ:
Решение:
Решите ребус \[\text{УХА}=\text{НОК}(\text{УХ},\,\text{УА},\,\text{ХА}).\] Здесь У, Х, А — три различные цифры. Двузначные и трёхзначные числа не могут начинаться с нуля. Напомним, что НОК нескольких натуральных чисел — наименьшее натуральное число, делящееся на каждое из них.
Ответ:
Решение:
Учитель придумал ребус, заменив в примере $a+b=c$ на сложение двух натуральных чисел цифры буквами: одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные — разными. (например, если $a=23$, а $b=528$, то $c=551$, и получился, с точностью до выбора букв, ребус $\text{АБ}+\text{ВАГ}=\text{ВВД}$). Оказалось, что по получившемуся ребусу однозначно восстанавливается исходный пример. Найдите наименьшее возможное значение суммы $c$.
Ответ:
Решение:
Положительные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что \[a^2\lt b\quad\text{и}\quad b^2\lt c\quad\text{и}\quad c^2\lt a.\] Докажите, что все три числа $a$, $b$ и $c$ меньше 1.
Ответ:
Решение:
Сумма двадцати чисел равна 0. Докажите, что можно покрасить десять из них в красный цвет, а какие-то девять из оставшихся — в синий так, что сумма девяти синих чисел будет не меньше, чем сумма десяти красных.
Ответ:
Решение:
Различные неотрицательные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что \[a^2+b^2=c^2+ab.\] Докажите, что $c^2+ab\lt ac+bc$.
Ответ:
Решение:
Пять положительных чисел таковы, что сумма их кубов меньше суммы их квадратов. Докажите, что каждое из этих чисел меньше 2.
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$, $c$ таковы, что \[ a^2+b^2\gt (a+b)^2\quad\text{и}\quad b^2+c^2\gt (b+c)^2. \] Что больше: $c^4+a^4$ или $(a+c)^4$?
Ответ:
Решение:
Ненулевые числа $x$ и $y$ удовлетворяют неравенствам $x^2-x\gt y^2$ и $y^2-y\gt x^2$. Какой знак может иметь произведение $xy$?
Ответ:
Решение: