Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 10
· весь вариант по порядку
Петя и Вася играют в игру. В начале игры на столе лежат 1000 куч, состоящих из 1, 2, 3, …, 1000 спичек соответственно. Ребята ходят по очереди, начинает Петя. Каждый из мальчиков своим ходом может взять любое ненулевое количество спичек из кучи с наибольшим количеством спичек (ровно из одной из таких куч, если их несколько). Выигрывает тот, кто заберёт последнюю спичку. Кто из мальчиков может играть так, чтобы гарантированно выиграть?
Ответ:
Решение:
Некоторые рёбра выпуклого многогранника удалось покрасить в красный цвет так, что в каждую вершину входит ровно два красных ребра, причём эти ребра лежат в одной грани. Кроме того, в каждой грани оказалось не более двух красных ребер. Сколько вершин может быть в таком многограннике?
Ответ:
Решение:
Даны натуральные числа $n\gt k\geqslant2$. В клетчатом квадрате $n\times n$ закрашено несколько клеток. В каждой строке и в каждом столбце есть хотя бы одна закрашенная клетка, причём в каждом ряду (строке или столбце) закрашенные клетки идут подряд. Известно, что нет целиком закрашенного квадрата $k\times k$. Какое наибольшее число клеток может быть закрашено?
Ответ:
Решение:
Даны 6 последовательных натуральных чисел. Докажите, что их можно обозначить (в некотором порядке) буквами $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ так, чтобы число $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{d}{e+f}$ было натуральным.
Ответ:
Решение:
Существуют ли такие составные натуральные числа $m\gt n\gt 1$, что у чисел $m$, $n$, $m+n$ и $m-n$ наибольший делитель, отличный от самого числа, одинаковый?
Ответ:
Решение:
Пусть $a$, $b$, $c$ — положительные числа, причём $a+b+c=3$. Докажите, что \[ \frac{a}{b^4+2b}+\frac{b}{c^4+2c}+\frac{c}{a^4+2a}\geqslant1. \]
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Биссектрисы его углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $E$, а биссектрисы углов $B$ и $D$ — в точке $F$, причём точки $O$, $E$ и $F$ лежат внутри четырёхугольника. Описанные окружности треугольников $ACE$ и $BDF$ пересекаются в точках $P$ и $Q$. Докажите, что точки $O$, $P$ и $Q$ лежат на одной прямой.
Ответ:
Решение:
Две равные окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ проходят через точку $A$. На окружности $\omega_1$ отмечена точка $B$ так, что прямая $AB$ касается окружности $\omega_2$. На окружности $\omega_2$ отмечена точка $C$ так, что прямая $AC$ касается окружности $\omega_1$. Прямая, проходящая через точку $A$, повторно пересекает окружность $\omega_1$ в точке $X$ и окружность $\omega_2$ в точке $Y$. Докажите, что один из отрезков $BX$, $CY$ и $XY$ равен сумме двух других.
Ответ:
Решение:
Две бесконечные последовательности $a_1, a_2, \ldots$ и $b_1, b_2, \ldots$ натуральных чисел таковы, что при любых различных натуральных $m$ и $k$ число $a_m-b_k$ делится на $m-k$. Обязательно ли $a_n=b_n$ при всех натуральных $n$?
Ответ:
Решение:
По кругу расставили 2026 попарно различных иррациональных чисел и для каждой пары стоящих рядом чисел $a$ и $b$ вычислили значение выражения $\dfrac{ab}{a-b}$. Может ли ровно одно из 2026 полученных значений быть иррациональным?
Ответ:
Решение: