Поиск задач

На каждой из прямых $y=1$ и $y=12$ отмечено по $200$ точек с абсциссами $1, 2, 3, \ldots, 200$. Сколькими способами можно выбрать три точки из отмеченных $400$ так, чтобы они являлись вершинами прямоугольного треугольника?

Найдите все значения $x$, при каждом из которых одно из трёх данных чисел \[ \log_{x^2}\left(x^2-10x+21\right),\quad \log_{x^2}\frac{x^2}{x-7}\quad\text{и}\quad \log_{x^2}\frac{x^2}{x-3} \] равно сумме двух остальных.

Даны две линейные функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Найдите наименьшее значение функции $(g(x))^2+5f(x)$, если наименьшее значение функции $(f(x))^2+5g(x)$ равно $-17$.

Окружность $\Omega$ радиуса $\sqrt3$ касается сторон $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $L$ соответственно и пересекает сторону $AB$ в точках $M$ и $N$ ($M$ лежит между $A$ и $N$) так, что отрезок $MK$ параллелен $AC$, $KC=1$, $AL=6$. Найдите $\angle ACB$, длины отрезков $MK$, $AB$ и площадь треугольника $CMN$.

Ребро $A_1A$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ перпендикулярно его грани $ABCD$. Сфера $\Omega$ касается рёбер $BB_1$, $B_1C_1$, $C_1C$, $CB$, $CD$, и при этом касается ребра $CD$ в такой точке $K$, что $CK=4$, $KD=1$.
а) Найдите длину ребра $A_1A$.
б) Пусть дополнительно известно, что сфера $\Omega$ касается ребра $A_1D_1$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и радиус сферы $\Omega$.

Числа $x$ и $y$ таковы, что выполняются равенства \[ \mathrm{ctg}\,x-\mathrm{ctg}\,y=2\quad\text{и}\quad 5\sin(2x-2y)=\sin 2x\sin 2y. \] Найдите $\mathrm{tg}\,x\,\mathrm{tg}\,y$.

Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от одиннадцати последовательных натуральных чисел до некоторого числа $a$ равна $902$, а сумма расстояний от этих же одиннадцати чисел до некоторого числа $b$ равна $374$. Найдите все возможные значения $a$, если известно, что $a+b=98$.