Олимпиада «Физтех»

Три натуральных числа являются последовательными членами геометрической прогрессии. Если из второго вычесть $3$, а из третьего вычесть $14$, то получатся три последовательных члена арифметической прогрессии. Чему равна сумма трёх членов геометрической прогрессии, если разность арифметической прогрессии равна $1$?

Найдите количество десятибуквенных «слов», составленных из букв А, Б, В (под «словом» понимается любая последовательность подряд идущих букв) таких, что в них есть не более трёх букв Б.

Сколько существует квадратных трёхчленов вида \[x^2+ax+b\] с целыми корнями, у которых $a+b=19$.

Когда каждое из $15$ последовательных натуральных чисел уменьшили на $2$, произведение этих чисел уменьшилось в $3$ раза. Найдите наименьшее из $15$ исходных чисел.

Маша и Даша должны посадить по $80$ кустиков клубники каждая. Маша первую половину работы делает с некоторой фиксированной скоростью, а при выполнении второй половины работы увеличивает скорость на $3$ кустика в час. Даша первую половину работы проделывает со скоростью в $\dfrac76$ раз больше Машиной, а на вторую половину работы она увеличивает свою скорость ещё на два кустика в час. Известно, что Маша на всю работу затратила не менее $6$ часов, а Даша — не более $\dfrac{75}{14}$ часов. Сколько кустиков в час высаживала Маша первоначально?

Диагонали трапеции $ABCD$ ($AD\parallel BC$) пересекаются в точке $O$. Известно, что $OB=15$, $OC=12$, $OD=25$, $CD=\sqrt{769}$. Найдите $AB$.

На факультете учится $100$ студентов. До зачёта каждые два студента встретились хотя бы на одной лекции по истории. При этом на каждой лекции по истории было не больше $50$ студентов. Какое наименьшее число лекций по истории могло пройти до зачёта?

За круглый стол сели $126$ мудрецов. Часть из них в синих колпаках, остальные — в красных. Известно, что среди любых пяти мудрецов, сидящих подряд, найдутся по крайней мере двое в красных колпаках. Какое наименьшее количество мудрецов может быть в красных колпаках?

Про многочлен \[q(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5\] известно, что каждый из коэффициентов $a_0,\ldots,a_5$ равен либо $+1$, либо $-1$, а значение $q(2)=-37$. Найдите $q(-3)$.

Точки $P$ и $Q$ — середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ соответственно, а $X$ — точка пересечения перпендикуляра к $AB$, проходящего через точку $A$, с перпендикуляром к $BC$, проходящим через точку $Q$. Найдите длину отрезка $BC$, если известно, что $PX=29$, а угол $BAC$ острый и $\sin\angle BAC=\dfrac18$.