Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Периметр параллелограмма больше одной из его сторон на 66 см, а другой — на 54 см. Найти стороны параллелограмма.
Ответ:
Решение:
Высоты параллелограмма, проведенные из одной вершины, образуют при пересечении с диагональю углы $30^{\circ}$ и $80^{\circ}$. Найти углы параллелограмма.
Ответ:
Решение:
Биссектриса одного из углов параллелограмма делит его на две части, разность периметров которых равна 10 см. Найти периметр параллелограмма, если одна из сторон в $3{,}5$ раза больше другой.
Ответ:
Решение:
Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки основания равнобедренного треугольника до боковых сторон постоянна.
Ответ:
Решение:
Через вершины $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$ проведены прямые, параллельные противолежащим сторонам. Эти прямые пересекаются в точках $C_{1}$, $A_{1}$ и $B_{1}$. Докажите, что стороны треугольника $ABC$ являются средними линиями треугольника $A_{1}B_{1}C_{1}$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ четырёхугольника $ABCD$ отмечены соответственно точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ так, что $AM=CP$, $BN=DQ$, $BM=DP$, $NC=QA$. Докажите, что $ABCD$ и $MNPQ$ — параллелограммы.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$; прямая, проведённая через точку $D$ параллельно $CA$, пересекает сторону $AB$ в точке $E$; прямая, проведённая через точку $E$ параллельно $BC$, пересекает сторону $AC$ в $F$. Докажите, что $EA=FC$.
Ответ:
Решение:
Точки $K$, $L$, $M$ и $N$ — середины сторон соответственно $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$. Докажите, что четырёхугольник с вершинами в точках пересечения прямых $AL$, $BM$, $CN$ и $DK$ — параллелограмм.
Ответ:
Решение:
Периметр параллелограмма равен 90, а острый угол равен $60^{\circ}$. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол на части в отношении $1:3$. Найдите стороны параллелограмма.
Ответ:
Решение:
Биссектрисы углов $A$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $M$, лежащей на стороне $BC$. Найти сторону $AD$, если периметр параллелограмма равен 36.
Ответ:
Решение:
Сторона $BC$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AB$. Точка $M$ — середина стороны $BC$. Доказать, что $DM$ является биссектрисой угла $ADC$.
Ответ:
Решение:
Через точку $O$ пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Доказать, что $AK=CM$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $KLMN$ сторона $KL$ равна 8. Окружность, касающаяся сторон $NK$ и $NM$, проходит через точку $L$ и пересекает стороны $KL$ и $ML$ в точках $C$ и $D$ соответственно. Известно, что $KC:LC=4:5$ и $LD:MD=8:1$. Найдите сторону $KN$.
Ответ:
Решение:
Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 и 14.
Ответ:
Решение:
Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Периметр параллелограмма равен 12, а разность периметров треугольников $BOC$ и $COD$ равна 2. Найдите стороны параллелограмма.
Ответ:
Решение:
Дан параллелограмм $ABCD$. Окружности, вписанные в треугольники $ABD$ и $BDC$, касаются диагонали $BD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ADC$ касаются диагонали $AC$ в точках $K$ и $L$ соответственно.
а) Докажите, что $MKNL$ — прямоугольник.
б) Найдите его площадь, если известно, что $BC-AB=4$, а угол между диагоналями параллелограмма $ABCD$ равен $30^{\circ}$.
а) Докажите, что $MKNL$ — прямоугольник.
б) Найдите его площадь, если известно, что $BC-AB=4$, а угол между диагоналями параллелограмма $ABCD$ равен $30^{\circ}$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ точка $E$-середина стороны $BC$. Через точку $B$ перпендикулярно прямой $AB$ и через точку $E$ перпендикулярно прямой $DE$ проведены соответственно прямые, $DE$ проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке $K$.
a) Докажите, что $AK = KD$.
б) Найдите угол $BAD$, если расстояние от точки $K$ до прямой $AD$ равно длине отрезка $EC$ и $\angle CED = 58^\circ$.
a) Докажите, что $AK = KD$.
б) Найдите угол $BAD$, если расстояние от точки $K$ до прямой $AD$ равно длине отрезка $EC$ и $\angle CED = 58^\circ$.
Ответ:
Решение: