Точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ — основания высот треугольника $ABC$, $O$ — центр его описанной окружности.
а) Докажите, что $OA\perp B_{1}C_{1}$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что $A_{1}B_{1}=21$, $A_{1}C_{1}=17$, $B_{1}C_{1}=10$.
а) Докажите, что $OA\perp B_{1}C_{1}$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что $A_{1}B_{1}=21$, $A_{1}C_{1}=17$, $B_{1}C_{1}=10$.
Ответ:
Решение:
Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $BC$, $AC$ и $AB$ в точках $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ соответственно. В треугольнике $A_{1}B_{1}C_{1}$ проведены высоты.
а) Докажите, что треугольник с вершинами в основаниях этих высот подобен треугольнику $ABC$.
б) Найдите коэффициент подобия, если известно, что радиус вписанной окружности треугольника $ABC$ в три раза меньше радиуса описанной.
а) Докажите, что треугольник с вершинами в основаниях этих высот подобен треугольнику $ABC$.
б) Найдите коэффициент подобия, если известно, что радиус вписанной окружности треугольника $ABC$ в три раза меньше радиуса описанной.
Ответ:
Решение:
На гипотенузу $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ опустили высоту $CH$. Из точки $H$ на катеты опустили перпендикуляры $HK$ и $HE$.
а) Докажите, что точки $A$, $B$, $K$ и $E$ лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус этой окружности, если $AB=24$, $CH=7$.
а) Докажите, что точки $A$, $B$, $K$ и $E$ лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус этой окружности, если $AB=24$, $CH=7$.
Ответ:
Решение:
Через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ проведена окружность, касающаяся прямой $BC$, а через вершины $B$ и $C$ — другая окружность, касающаяся прямой $AB$. Продолжение общей хорды $BD$ этих окружностей пересекает отрезок $AC$ в точке $E$, а продолжение хорды $AD$ одной окружности пересекает другую окружность в точке $F$.
а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $ABF$ равновелики.
б) Найдите отношение $AE:EC$, если $AB=5$ и $BC=9$.
а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $ABF$ равновелики.
б) Найдите отношение $AE:EC$, если $AB=5$ и $BC=9$.
Ответ:
Решение:
Окружность с центром $O$, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$, биссектриса угла $BAC$ пересекает прямую $MN$ в точке $K$.
а) Докажите, что треугольник $AMK$ подобен треугольнику $AOC$.
б) Найти расстояние от точки $K$ до прямой $AC$, если известно, $AC=4\sqrt{2}$, а угол $\angle BAC=45^{\circ}$.
а) Докажите, что треугольник $AMK$ подобен треугольнику $AOC$.
б) Найти расстояние от точки $K$ до прямой $AC$, если известно, $AC=4\sqrt{2}$, а угол $\angle BAC=45^{\circ}$.
Ответ:
Решение:
Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $BC$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, $P$ и $Q$ — середины сторон соответственно $AB$ и $AC$. Прямые $MN$ и $PQ$ пересекаются в точке $D$.
а) Докажите, что треугольник $DQN$ равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника $BPD$, если $AB=12$ и $\angle ABC=30^{\circ}$
а) Докажите, что треугольник $DQN$ равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника $BPD$, если $AB=12$ и $\angle ABC=30^{\circ}$
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Прямая $BO$ вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке $P$.
а) Докажите, что $\angle POA=\angle PAO$.
б) Найдите площадь треугольника $APO$, если радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности равен 10, $\angle BAC=75^{\circ}$, $\angle ABC=60^{\circ}$.
а) Докажите, что $\angle POA=\angle PAO$.
б) Найдите площадь треугольника $APO$, если радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности равен 10, $\angle BAC=75^{\circ}$, $\angle ABC=60^{\circ}$.
Ответ:
Решение:
Стороны прямоугольника $ABCD$ равны $AB=2\sqrt3$ и $AD=4$. На середине стороны $AD$ взята точка $M$, на середине отрезка $BM$ взята точка $K$. Найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника $CMK$.
Ответ:
Решение:
Стороны прямоугольника $ABCD$ равны $AB=2$ и $AD=4\sqrt3$. На середине стороны $AD$ взята точка $M$, на середине отрезка $BM$ взята точка $K$. Найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника $CMK$.
Ответ:
Решение:
Для измерения ширины реки на противоположном её берегу примечают какой-то хорошо заметный природный объект $C$ (например, отдельно стоящее дерево) или строение (к примеру, здание пристани или лодочную станцию), а на доступном берегу реки выбирают точки $A$ и $B$ (расстояние $AB$ может быть найдено непосредственно) и измеряют углы, под которыми точка $C$ видна из точек $A$ и $B$. Далее остаётся вычислить высоту в треугольнике $ABC$, опущенную из вершины $C$ — это и будет ширина реки.
Вычислить с точностью до десятых ширину реки по данным таких измерений: $AB=100$ м, $\angle BAC=50^{\circ}$, $\angle ABC=20^{\circ}$.
Для справки. $\sin 50^{\circ}\approx0{,}766$, $\sin 20^{\circ}\approx0{,}342$, $\sin 110^{\circ}=\sin70^{\circ}\approx0{,}940$.
Вычислить с точностью до десятых ширину реки по данным таких измерений: $AB=100$ м, $\angle BAC=50^{\circ}$, $\angle ABC=20^{\circ}$.
Для справки. $\sin 50^{\circ}\approx0{,}766$, $\sin 20^{\circ}\approx0{,}342$, $\sin 110^{\circ}=\sin70^{\circ}\approx0{,}940$.
Ответ:
Решение:
Для измерения ширины реки на противоположном её берегу примечают какой-то хорошо заметный природный объект $C$ (например, отдельно стоящее дерево) или строение (к примеру, здание пристани или лодочную станцию), а на доступном берегу реки выбирают точки $A$ и $B$ (расстояние $AB$ может быть найдено непосредственно) и измеряют углы, под которыми точка $C$ видна из точек $A$ и $B$. Далее остаётся вычислить высоту в треугольнике $ABC$, опущенную из вершины $C$ — это и будет ширина реки.
Вычислить с точностью до десятых ширину реки по данным таких измерений: $AB=150$ м, $\angle BAC=65^{\circ}$, $\angle ABC=15^{\circ}$.
Для справки. $\sin 65^{\circ}\approx0{,}906$, $\sin 15^{\circ}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\approx0{,}259$, $\sin 100^{\circ}=\sin80^{\circ}\approx0{,}985$.
Вычислить с точностью до десятых ширину реки по данным таких измерений: $AB=150$ м, $\angle BAC=65^{\circ}$, $\angle ABC=15^{\circ}$.
Для справки. $\sin 65^{\circ}\approx0{,}906$, $\sin 15^{\circ}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\approx0{,}259$, $\sin 100^{\circ}=\sin80^{\circ}\approx0{,}985$.
Ответ:
Решение:
Окружность радиуса 10 вписана в угол величины $60^{\circ}$. Из точки $A$ её касания с одной из сторон угла опущен перпендикуляр $AH$ на другую его сторону, который второй раз пересекает окружность в точке $M$. Найти длину отрезка $MH$ этого перпендикуляра, лежащего вне окружности.
Ответ:
Решение:
Окружность радиуса 10 вписана в угол величины $30^{\circ}$. Из точки $A$ её касания с одной из сторон угла опущен перпендикуляр $AH$ на другую его сторону, который второй раз пересекает окружность в точке $M$. Найти длину отрезка $MH$ этого перпендикуляра, лежащего вне окружности.
Ответ:
Решение:
Сторона треугольника равна $5\sqrt3$, а прилежащие к ней углы $50^{\circ}$ и $70^{\circ}$. Найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника.
Ответ:
Решение:
Сторона треугольника равна $10\sqrt2$, а прилежащие к ней углы $70^{\circ}$ и $65^{\circ}$. Найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ $AB=4\sqrt{5}$, $BC=\sqrt{65}$ и $AC=15$. На сторонах $AB$ и $AC$ взяты точки $M$ и $K$ соответственно так, что $AM:BM=3:1$ и $AK:CK=2:1$. Найти $MK$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ $AB=5\sqrt{5}$, $BC=5\sqrt{2}$ и $AC=15$. На сторонах $AB$ и $AC$ взяты точки $M$ и $K$ соответственно так, что $AM:BM=4:1$ и $AK:CK=1:2$. Найти $MK$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ $AB=3\sqrt{13}$, $BC=3\sqrt{5}$ и $AC=12$. На сторонах $AB$ и $AC$ взяты точки $M$ и $K$ соответственно так, что $AM:BM=2:1$ и $AK:CK=3:1$. Найти $MK$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ $AB=3\sqrt{5}$, $BC=\sqrt{85}$ и $AC=10$. На сторонах $AB$ и $AC$ взяты точки $M$ и $K$ соответственно так, что $AM:BM=2:1$ и $AK:CK=1:1$. Найти $MK$.
Ответ:
Решение:
Две стороны треугольника равны 5 и 4, а высота, проведённая к третьей стороне, равна 3. Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Ответ:
Решение: