Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 9 и 32 от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\displaystyle \cos\angle BAC=\frac{2\sqrt2}{3}$.
Ответ:
Решение:
Около остроугольного треугольника $ABC$ описана окружность с центром $O$. На продолжении отрезка $AO$ за точку $O$ отмечена точка $K$ так, что $\angle BAC + \angle AKC = 90^\circ$.
а) Докажите, что четырёхугольник $OBKC$ вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника $OBKC$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{3}{5}$, а $BC = 48$.
а) Докажите, что четырёхугольник $OBKC$ вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника $OBKC$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{3}{5}$, а $BC = 48$.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$. На продолжении отрезка $AO$ за точку $O$ отмечена точка $K$ так, что $\angle BAC + \angle AKC = 90^\circ$.
а) Докажите, что четырехугольник $OBKC$ вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $KBC$, если известно, что радиус описанной окружности треугольника $ABC$ равен 12, а $\cos\angle BAC = 0{,}6$.
а) Докажите, что четырехугольник $OBKC$ вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $KBC$, если известно, что радиус описанной окружности треугольника $ABC$ равен 12, а $\cos\angle BAC = 0{,}6$.
Ответ:
Решение:
Точка $О$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. На продолжении отрезка $AO$ за точку $О$ отмечена точка $K$ так, что $BK = OK$.
а) Докажите, что четырехугольник $ABKC$ вписанный.
б) Найдите длину отрезка $AO$, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$ равны $3$ и $12$ соответственно, а $OK = 5$.
а) Докажите, что четырехугольник $ABKC$ вписанный.
б) Найдите длину отрезка $AO$, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$ равны $3$ и $12$ соответственно, а $OK = 5$.
Ответ:
Решение:
Точка $О$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. На продолжении отрезка $AO$ за точку $О$ отмечена точка $K$ так, что $BK = OK$.
а) Докажите, что четырехугольник $ABKC$ вписанный.
б) Найдите длину отрезка $AO$, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$ равны $5$ и $15$ соответственно, а $OK = 8$.
а) Докажите, что четырехугольник $ABKC$ вписанный.
б) Найдите длину отрезка $AO$, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$ равны $5$ и $15$ соответственно, а $OK = 8$.
Ответ:
Решение:
Точка $О$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. На продолжении отрезка $AO$ за точку $О$ отмечена точка $K$ так, что $BK = OK$.
а) Докажите, что четырехугольник $ABKC$ вписанный.
б) Найдите длину отрезка $AO$, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$ равны $3$ и $9$ соответственно, а $OK = 10$.
а) Докажите, что четырехугольник $ABKC$ вписанный.
б) Найдите длину отрезка $AO$, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$ равны $3$ и $9$ соответственно, а $OK = 10$.
Ответ:
Решение:
Точка $О$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. На продолжении отрезка $AO$ за точку $О$ отмечена точка $K$ так, что $BK = OK$.
а) Докажите, что четырехугольник $ABKC$ вписанный.
б) Найдите длину отрезка $AO$, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$ равны $4$ и $10$ соответственно, а $OK = 12$.
а) Докажите, что четырехугольник $ABKC$ вписанный.
б) Найдите длину отрезка $AO$, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$ равны $4$ и $10$ соответственно, а $OK = 12$.
Ответ:
Решение: