Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 383
Даны две непостоянные прогрессии $(a_n)$ и $(b_n)$, одна из которых арифметическая, а другая — геометрическая. Известно, что $a_1=b_1$, $a_2:b_2=2$ и $a_4:b_4=8$. Чему может быть равно отношение $a_3:b_3$?
Ответ:
Решение:
Дана возрастающая бесконечная последовательность натуральных чисел $a_1, \ldots, a_n, \ldots$ такая, что каждый её член является либо средним арифметическим, либо средним геометрическим двух соседних. Обязательно ли с некоторого момента эта последовательность становится либо арифметической, либо геометрической прогрессией?
Ответ:
Решение:
Назовём последовательность натуральных чисел интересной, если каждый её член, кроме первого, является либо средним арифметическим, либо средним геометрическим двух соседних с ним членов. Сеня начал последовательность с трёх натуральных чисел, образующих возрастающую геометрическую прогрессию. Он хотел бы продолжить свою последовательность до бесконечной интересной последовательности, которая ни с какого момента не становится ни арифметической, ни геометрической прогрессией. Может ли оказаться, что этого нельзя сделать?
Ответ:
Решение:
На плоской горизонтальной площадке стоят $5$ прожекторов, каждый из которых испускает лазерный луч под одним из двух острых углов $\alpha$ или $\beta$ к площадке и может вращаться лишь вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину луча. Известно, что любые $4$ из этих прожекторов можно повернуть так, что все $4$ испускаемых ими луча пересекутся в одной точке. Обязательно ли можно так повернуть все $5$ прожекторов, чтобы все $5$ лучей пересеклись в одной точке?
Ответ:
Решение:
Звездолёт находится в полупространстве на расстоянии $a$ от его границы. Экипаж знает об этом, но не представляет, в каком направлении двигаться, чтобы достигнуть граничной плоскости. Звездолёт может лететь в пространстве по любой траектории, измеряя длину пройденного пути, и имеет датчик, подающий сигнал, когда граница достигнута. Может ли звездолёт гарантированно достигнуть границы, преодолев путь длиной не более $14a$?
Ответ:
Решение:
Середины всех высот некоторого тетраэдра лежат на его вписанной сфере. Верно ли, что тетраэдр правильный?
Ответ:
Решение:
Поверхность выпуклого многогранника $A_1B_1C_1A_2B_2C_2$ состоит из восьми треугольных граней $A_iB_jC_k$, где $i$, $j$, $k$ меняются от $1$ до $2$. Сфера с центром в точке $O$ касается всех этих граней. Докажите, что точка $O$ и середины трёх отрезков $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$ лежат в одной плоскости.
Ответ:
Решение:
Все грани шестигранника — четырёхугольники, а в каждой его вершине сходятся по три ребра. Верно ли, что если для него существуют вписанная и описанная сферы, центры которых совпадают, то этот шестигранник — куб?
Ответ:
Решение:
В основании выпуклой четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит четырёхугольник $ABCD$, диагонали которого перпендикулярны, а никакие две стороны не равны. Известно, что вписанные сферы тетраэдров $SABC$ и $SACD$ касаются. Докажите, что вписанные сферы тетраэдров $SABD$ и $SBCD$ касаются.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $BB_1$ и $CC_1$. Известно, что центр описанной окружности треугольника $BB_1C_1$ лежит на прямой $AC$. Найдите угол $C$ треугольника.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $AH$. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $BH$ и $CH$. Докажите, что точка пересечения перпендикуляров, опущенных из точек $M$ и $N$ на прямые $AB$ и $AC$ соответственно, равноудалена от точек $B$ и $C$.
Ответ:
Решение:
Пусть $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. На сторонах $AC$ и $AB$ взяли точки $K$ и $L$ соответственно так, что прямая $IK$ перпендикулярна $CI$, а $KL$ параллельна $BI$. Докажите, что треугольник $LKI$ — равнобедренный.
Ответ:
Решение:
Стороны $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ касаются соответствующих вневписанных окружностей в точках $A_1$, $B_1$. Пусть $A_2$, $B_2$ — ортоцентры треугольников $CAA_1$ и $CBB_1$. Докажите, что прямая $A_2B_2$ перпендикулярна биссектрисе угла $C$.
Ответ:
Решение:
В неравнобедренном треугольнике две медианы равны двум высотам. Найдите отношение третьей медианы к третьей высоте.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$. Проведены высота $AH$ и медиана $CM$. Обозначим точку их пересечения через $P$. Высота, проведённая из вершины $B$ треугольника, пересекается с перпендикуляром, опущенным из точки $H$ на прямую $CM$, в точке $Q$. Докажите, что прямые $CQ$ и $BP$ перпендикулярны.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Окружность, описанная вокруг треугольника $A_1BC_1$, проходит через точку $M$ пересечения медиан. Найдите все возможные значения величины угла $B$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA'$ и $BB'$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Докажите, что расстояние от точки $A'$ до прямой $BO$ равно расстоянию от точки $B'$ до прямой $AO$.
Ответ:
Решение:
Внутри четырёхугольника $ABCD$ взяли точку $P$. Прямые $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $X$. Оказалось, что прямая $XP$ является внешней биссектрисой углов $APD$ и $BPC$. Пусть $PY$ и $PZ$ — биссектрисы треугольников $APB$ и $DPC$. Докажите, что точки $X$, $Y$ и $Z$ лежат на одной прямой.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ с углом $A$, равным $45^\circ$, проведена медиана $AM$. Прямая $b$ симметрична прямой $AM$ относительно высоты $BB_1$, а прямая $c$ симметрична прямой $AM$ относительно высоты $CC_1$. Прямые $b$ и $c$ пересеклись в точке $X$. Докажите, что $AX=BC$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AH_A$, $BH_B$ и $CH_C$ пересекаются в точке $H$. Через точки, в которых окружность радиуса $HH_A$ с центром $H$ пересекает отрезки $BH$ и $CH$, проведена прямая $\ell_A$. Аналогично проведены прямые $\ell_B$ и $\ell_C$. Докажите, что точка пересечения высот треугольника, образованного прямыми $\ell_A$, $\ell_B$, $\ell_C$, совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
Ответ:
Решение: