Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 385
Все делители натурального числа $N$, кроме $N$ и единицы, выписали в ряд по убыванию: \[d_1\gt d_2\gt \ldots\gt d_k.\] Оказалось, что в каждой паре делителей, одинаково удалённых от концов этого ряда, больший делитель делится на меньший (то есть $d_1$ делится на $d_k$, $d_2$ — на $d_{k-1}$ и т. д.). Докажите, что в любой паре делителей числа $N$ больший делитель делится на меньший.
Ответ:
Решение:
Найдите все натуральные числа $n$, для которых число \[n^7+n^6+n^5+1\] имеет ровно три натуральных делителя.
Ответ:
Решение:
Даны натуральные числа $a$ и $b$ ($a\gt 1$), причём $b$ делится на $a^2$. Кроме того, любой делитель числа $b$, меньший, чем $\sqrt{a}$, является также делителем числа $a$. Докажите, что у числа $a$ не более трех различных простых делителей.
Ответ:
Решение:
Известно, что и сумма и произведение двух натуральных чисел $a$ и $b$ — квадраты натуральных чисел. Докажите, что число $|16a-9b|$ — не простое.
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n$, большее 2. Докажите, что если число $n!+n^3+1$ — простое, то число $n^2+2$ представляется в виде суммы двух простых чисел.
Ответ:
Решение:
Делители натурального числа $n$ (включая $n$ и 1), имеющего больше трёх делителей, выписали по возрастанию:\[1=d_1\lt d_2\lt \ldots\lt d_k=n.\]Разности\[u_1=d_2-d_1,\quad u_2=d_3-d_2,\quad\ldots,\quad u_{k-1}=d_k-d_{k-1}\]оказались такими, что\[u_2-u_1=u_3-u_2=\ldots=u_{k-1}-u_{k-2}.\]Найдите все такие $n$.
Ответ:
Решение:
Пусть $p_1$, $p_2$, $\ldots$, $p_{100}$ — сто простых чисел, среди которых нет одинаковых. Натуральные числа $a_1$, $\ldots$, $a_k$, большие 1, таковы, что каждое из чисел $p_1p_2^3$, $p_2p_3^3$, $\ldots$, $p_{99}p_{100}^3$, $p_{100}p_1^3$ равно произведению каких-то двух из чисел $a_1$, $\ldots$, $a_k$. Докажите, что $k\geqslant150$.
Ответ:
Решение:
Назовем два числа почти равными друг другу, если они равны друг другу или отличаются друг от друга не более, чем на единицу. Клетчатый прямоугольник со сторонами, равными натуральным числам $a$ и $b$, таков, что из него нельзя по линиям сетки вырезать прямоугольник, площадь которого почти равна половине площади исходного прямоугольника. Какое наименьшее значение может принимать число $|a-b|$?
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n$. Докажите, что при некотором натуральном $m$ у числа $m^3+m$ ровно один или ровно два различных простых делителя, больших $n$.
Ответ:
Решение:
Натуральное число называется совершенным, если оно вдвое меньше суммы всех своих натуральных делителей: например, совершенным является число 6, так как $2\cdot6=1+2+3+6$. Может ли сумма всех попарных произведений натуральных делителей совершенного числа $n$ делиться на $n^2$?
Ответ:
Решение:
Дано нечётное натуральное число $a$, большее 100. На доску выписали все натуральные числа вида $(a-n^2)/4$, где $n$ — натуральное число. Оказалось, что при $n\leqslant\sqrt{a/5}$ все они простые. Докажите, что и каждое из остальных выписанных на доску натуральных чисел простое или равно единице.
Ответ:
Решение:
Докажите, что существует натуральное число $n$, большее $10^{100}$, такое, что сумма всех простых чисел, меньших $n$, взаимно проста с $n$.
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $k$, большее 1. Натуральное число $n$, большее 1 и взаимно простое с $k$, назовём правильным, если для любого натурального делителя $d$ ($d\lt n$) числа $n$ число $d+k$ не взаимно просто с $n$. Докажите, что правильных чисел — конечное количество.
Ответ:
Решение:
Саша, Андрей и Оля выбрали по натуральному числу. Каждый из них умножил числа, выбранные двумя другими ребятами, на свое число и вычел меньшее произведение из большего. У Саши получилось 1, а у Андрея 121. Сколько могло получиться у Оли? Приведите все возможные варианты и докажите, что других нет.
Ответ:
Решение:
Существуют ли такие натуральные числа $m$, $n$, $k$, что все три числа \[m^2+n+k,\quad n^2+k+m,\quad k^2+m+n\] являются квадратами натуральных чисел?
Ответ:
Решение:
Найдите все натуральные числа, которые можно представить в виде \[\frac{xy+yz+zx}{x+y+z},\] где $x$, $y$ и $z$ — три различных натуральных числа.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное $k$ такое, что для некоторого натурального числа $a$, большего 500 000, и некоторого натурального числа $b$ выполнено равенство \[ \frac{1}{a}+\frac{1}{a+k}=\frac{1}{b}. \]
Ответ:
Решение:
На доску записали несколько (больше одного) последовательных натуральных чисел. Могло ли так случиться, что и сумма всех четных выписанных чисел — квадрат натурального числа, и сумма всех нечетных выписанных чисел — квадрат натурального числа?
Ответ:
Решение:
Сумма дробных частей нескольких положительных чисел равна целой части их произведения. Докажите, что дробная часть суммы этих чисел равна произведению их целых частей. Напомним, что целая часть $[x]$ числа $x$ — это наибольшее целое число, не превосходящее $x$ (например, $[1{,}3]=1$), а дробная часть $\{x\}$ числа $x$ задаётся формулой $\{x\}=x-[x]$.
Ответ:
Решение:
Можно ли отметить в ряду всех натуральных чисел бесконечно много чисел так, чтобы разность любых двух отмеченных чисел (где из большего вычитается меньшее) была квадратом натурального числа?
Ответ:
Решение: