Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 306
При каком натуральном $n$ дробь \[ a_n=\dfrac{1}{n+\dfrac{2019}{n+\frac1n}} \] принимает наибольшее возможное значение?
Ответ:
Решение:
Найти все числа $C$, для которых неравенство \[ |\alpha\sin x+\beta\cos2x|\leqslant C \] выполняется при всех $x$ и любых $(\alpha;\beta)$ таких, что $\alpha^2+\beta^2\leqslant4$.
Ответ:
Решение:
Четыре числа $(x,\ y,\ z,\ t)$ удовлетворяют трем условиям: \[ x^2+y^2=1,\quad z^2+t^2=4,\quad xz+yt=-2. \] Найти $t$, если известно, что $y+z$ принимает наибольшее возможное значение.
Ответ:
Решение:
Имеется $153$ положительных числа, сумма которых $918$. Из них отобрали $127$ самых больших и нашли число $s$ — их сумму. Найти наименьшее возможное значение числа $s$.
Ответ:
Решение:
Числа $x$ и $y$ удовлетворяют неравенствам \[ x\leqslant 1,\quad y\leqslant 1,\quad x+y\geqslant 0{,}5. \] Найти наибольшее значение выражения $xy-x-y$. При каких $x$ и $y$ оно достигается?
Ответ:
Решение:
Найти $x$ и $y$, если \[ \begin{cases} 2x-3\{y\}=0{,}5,\\ x+y=3{,}5, \end{cases} \] где $\{y\}$ — дробная часть числа $y$.
Ответ:
Решение:
Решить уравнение $\{2\sin x\}+[\cos 2x]=0$, где $[a]$ целая часть числа $a$ — наибольшее целое число не превосходящее $a$, $\{a\}$ — дробная часть числа $a$: $\{a\}=a-[a]$.
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[ \left[\sqrt{\left[\sqrt{2024(x+1)(3-x)}\right]}\right]=\left[\sqrt[4]{2024(x+1)(3-x)}\right]. \] Здесь $[b]$ — целая часть числа: наибольшее целое число не превосходящее $b$.
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ 2\sin\pi x=\left[\lg\dfrac{2^x}{10}\right]-\left[\lg\left[2^x\right]\right]. \] Здесь $[a]$ — целая часть числа $a$ — наибольшее целое число, не превосходящее $a$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найти все пары чисел $(x;y)$, удовлетворяющие неравенству \[ 4^x\left(1+\lg^4y\right)+\lg^2y\left(1+16^x\right)\geqslant\left(1+16^x\right)\left(1+\lg^4y\right). \]
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[ \left(\sin x+\sqrt{1+\sin^2x}\right)\left(\cos2x+\sqrt{1+\cos^22x}\right)=1. \]
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[ \left(\log_2x+\sqrt{\log_2^2x+1}\right)\left(\log_2(x-2)+\sqrt{\log_2^2(x-2)+1}\right)=1. \]
Ответ:
Решение:
При каких тройках чисел $(x;y;z)$, удовлетворяющих системе \[ \begin{cases} \sin x-\sin y=y-x,\\ \sin y-\sin z=y-z, \end{cases} \] выражение $\left|\dfrac{z}{1+xy}\right|$ принимает наибольшее возможное значение?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[ \left(\sin2x+\sqrt{1+\sin^22x}\right)\left(\sin3x+\sqrt{1+\sin^23x}\right)=1. \]
Ответ:
Решение:
Найти все пары чисел $(x;y)$, для которых \[ \sqrt{\cos x+1}+\sqrt{\cos2x+2}+\sqrt{\cos y+3}=\sqrt{\cos y+1}+\sqrt{\cos x+2}+\sqrt{\cos2x+3}=\sqrt{\cos2x+1}+\sqrt{\cos y+2}+\sqrt{\cos x+3}. \]
Ответ:
Решение:
Найти наименьшее положительное значение выражения $x+y$ для всех пар чисел $(x;y)$, удовлетворяющих уравнению $(\sin x+\cos y)(\cos x-\sin y)=1+\sin(x-y)\cos(x+y)$.
Ответ:
Решение: