Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1597
Каждое из натуральных чисел $a$, $b$, $c$, $d$ не превосходит 6. Найдите наибольшее возможное значение выражения \[a+\dfrac{1}{b+\frac{1}{c+\frac{1}{d}}}.\]
Ответ:
Решение:
Числа $a_1, a_2, \ldots, a_9$ таковы, что \[\frac{a_1^2+a_2^2+\ldots+a_9^2}{a_1+a_2+\ldots+a_9}=48.\] Какое наибольшее значение может принимать $a_1$?
Ответ:
Решение:
В компьютерной игре у персонажа четыре характеристики: сила, ловкость, интеллект и харизма. Изначально каждая характеристика равна 10, и у игрока есть ещё 25 очков, которые он должен полностью распределить между характеристиками (одно очко — одна единица характеристики). Эффективность персонажа вычисляется по формуле:
сила $\times$ ловкость $+$ ловкость $\times$ интеллект $+$ интеллект $\times$ харизма $+$ харизма $\times$ сила.
а) Найдите наименьшую возможную эффективность персонажа.
б) Найдите наибольшую возможную эффективность персонажа.
сила $\times$ ловкость $+$ ловкость $\times$ интеллект $+$ интеллект $\times$ харизма $+$ харизма $\times$ сила.
а) Найдите наименьшую возможную эффективность персонажа.
б) Найдите наибольшую возможную эффективность персонажа.
Ответ:
Решение:
Неотрицательные числа $a$, $b$, $c$ в сумме дают 1. Найдите наибольшее возможное значение величины \[(a+3b+5c)\cdot\left(a+\dfrac{b}{3}+\dfrac{c}{5}\right).\]
Ответ:
Решение:
Действительные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что \[\begin{cases} a^2+ab+b^2=11,\\ b^2+bc+c^2=11. \end{cases}\]
1. Какое наименьшее значение может принимать выражение $c^2+ca+a^2$?
2. Какое наибольшее значение может принимать выражение $c^2+ca+a^2$?
1. Какое наименьшее значение может принимать выражение $c^2+ca+a^2$?
2. Какое наибольшее значение может принимать выражение $c^2+ca+a^2$?
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n\geqslant 2$. Петя и Вася играют в следующую игру. Петя выбирает $2n$ (не обязательно различных) неотрицательных чисел $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{2n}$, сумма которых равна 1. Вася расставляет эти числа по кругу в некотором порядке по своему усмотрению. После этого он вычисляет произведения пар соседних чисел и выписывает на доску наибольшее из всех $2n$ полученных произведений. Петя хочет, чтобы число на доске оказалось как можно больше, а Вася — чтобы оно было как можно меньше. Какое число окажется на доске при правильной игре?
Ответ:
Решение:
Петя и Вася играют в следующую игру. Петя выбирает 100 (не обязательно различных) неотрицательных чисел $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{100}$, сумма которых равна 1. Вася разбивает их на 50 пар по своему усмотрению, считает произведение чисел в каждой паре и выписывает на доску наибольшее из 50 полученных произведений. Петя хочет, чтобы число на доске оказалось как можно больше, а Вася — чтобы оно было как можно меньше. Какое число окажется на доске при правильной игре?
Ответ:
Решение:
Дано число $a\in(0,1)$. Положительные числа $x_0$, $x_1$, …, $x_n$ удовлетворяют условиям \[x_0+x_1+\ldots+x_n=n+a\] и \[\frac{1}{x_0}+\frac{1}{x_1}+\ldots+\frac{1}{x_n}=n+\frac{1}{a}.\] Найдите наименьшее значение выражения $x_0^2+x_1^2+\ldots+x_n^2$.
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее число $m$ такое, что для любых положительных чисел $a$, $b$ и $c$, сумма которых равна 1, выполнено неравенство \[ \sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\dfrac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\dfrac{ca}{b+ca}}\geqslant m. \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Отметьте на одной прямой четыре точки $A$, $B$, $C$, $D$ так, чтобы расстояние между точками $A$ и $B$ было равно 10 см, между $A$ и $C$ — 3 см, между $B$ и $D$ — 5 см, а между $D$ и $C$ — 8 см.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости есть точки, координаты $(x,y)$ которых удовлетворяют уравнению $y(x+1)=x^2-1$. Например, одна из них — точка с координатами $(1,0)$. Изобразите все точки, координаты $(x,y)$ которых удовлетворяют этому уравнению.
Ответ:
Решение:
Постройте график уравнения \[ x^2-y^4=\sqrt{18x-x^2-81}\,, \] то есть изобразите на координатной плоскости все точки, координаты $(x,y)$ которых удовлетворяют этому уравнению.
Ответ:
Решение:
На плоскости дан квадрат $ABCD$ со стороной 1 и точка $X$ (см. рисунок). Известно, что $XA=\sqrt{5}$, $XC=\sqrt{7}$. Чему равно $XB$?
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр квадрата $ABCD$. Найдите какие-нибудь семь попарно неравных векторов с концами и началами в точках $A$, $B$, $C$, $D$, $O$, сумма которых равна нулевому вектору. Объясните свой ответ.
Ответ:
Решение:
На плоскости отметили точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ так, что треугольники $ABC$ и $ADE$ равны: $AB=AD$, $AC=AE$, $BC=DE$. Затем с чертежа стёрли точку $E$ и подписи точек $B$, $C$ и $D$.
Пусть точка $E$ имела координаты $(x;y)$.
1. Укажите любое возможное значение величины $xy$.
2. Укажите все возможные значения величины $xy$.
Пусть точка $E$ имела координаты $(x;y)$.
1. Укажите любое возможное значение величины $xy$.
2. Укажите все возможные значения величины $xy$.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости проведена прямая $ax+by+c=0$, где $a$, $b$, $c$ — некоторые положительные числа. Известно, что эта прямая касается окружности $x^2+y^2=1$. Докажите, что если взять три отрезка с длинами $a$, $b$, $c$, то из них можно сложить прямоугольный треугольник.
Ответ:
Решение:
Четыре города и пять дорог расположены так, как изображено на рисунке. Длины всех дорог равны целому числу километров. Длины четырёх дорог указаны на рисунке. Сколько километров составляет длина оставшейся?
Ответ:
Решение:
На прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Получилось шесть отрезков: $AB$, $BC$, $CD$, $AC$, $BD$, $AD$. Кирилл измерил длины пяти из этих отрезков и выписал получившиеся числа в порядке возрастания: 1, 4, 5, 10, 14.
1. Укажите любое возможное значение длины шестого отрезка.
2. Чему может равняться длина шестого отрезка? Укажите все возможные варианты.
1. Укажите любое возможное значение длины шестого отрезка.
2. Чему может равняться длина шестого отрезка? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
На сторонах правильного семиугольника со стороной 2 отмечены две точки $A$ и $B$. Чему может быть равна длина отрезка $AB$?
a) 1;
b) 4;
c) 7;
d) 15.
a) 1;
b) 4;
c) 7;
d) 15.
Ответ:
Решение: