Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
Найдите положительное число $p$, такое, что прямая $y=4x+p$ и координатные оси образуют треугольник, площадь которого равна $72$.
Ответ:
Решение:
Из точки $M$ проведены две перпендикулярные друг другу касательные к параболе \[ y=x^2+3x+2. \] Найдите минимально возможную ординату точки $M$.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости нарисован квадрат, все вершины которого лежат на графике функции $y=x^5+ax$. Известно, что одна из диагоналей квадрата лежит на прямой $y=-3x$, а центр совпадает с началом координат. Найдите значение параметра $a$ и сторону квадрата.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости нарисован квадрат, все вершины которого лежат на графике функции $y=x^3-ax$. Известно, что одна из диагоналей квадрата лежит на прямой $y=-4x$, а центр совпадает с началом координат. Найдите значение параметра $a$ и площадь квадрата.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$, $BC$ и $CA$ треугольника $ABC$ отмечены соответственно точки $D$, $E$ и $F$ так, что прямая $DF$ параллельна стороне $BC$. Найдите площадь четырёхугольника $ADEF$, если площади треугольников $ABC$ и $ADF$ равны $150$ и $6$ соответственно.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $N$ и $M$. Отрезки $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что площади треугольников $ANP$, $CMP$ и $CPA$ равны соответственно 5, 7 и 6.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $N$ и $M$. Отрезки $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что площади треугольников $ANP$, $CMP$ и $CPA$ равны соответственно $8$, $10$ и $9$.
Ответ:
Решение:
На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ выбрана точка $D$ такая, что площадь треугольника $BCD$ равна $4$, а площадь треугольника $ACD$ равна $1$. В треугольнике $ACD$ проведена высота $DH$. Найдите площадь четырёхугольника $BCHD$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $PQR$ на стороне $PQ$ выбрана точка $K$, а на стороне $QR$ — точка $L$. Отрезки $PL$ и $KR$ пересекаются в точке $T$. Чему равна площадь треугольника $PQR$, если $S_{PKT}=10$, $S_{PTR}=11$, $S_{RTL}=12$?
Ответ:
Решение:
В треугольнике на приведённом чертеже площади $\Delta ADE$ и $\Delta BFE$ равны $4$, а площадь $\Delta FDE$ равна $2$. Найдите площадь $\Delta CDF$.
Ответ:
Решение:
Петя нарисовал на плоскости прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AB=\sqrt{3}$, $AC=4$. Вася последовательно передвигает сначала точку $A$ вдоль прямой, параллельной $BC$, затем точку $B$ вдоль прямой, параллельной (новой) $AC$, а затем $C$ вдоль прямой параллельной (новой) прямой $AB$. Обозначим полученный Васей треугольник $A'B'C'$. Он обнаружил, что $\angle A'B'C'=120^\circ$, а $A'B'=5$. Найдите $B'C'$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ такая, что $BM:MC=2:5$. Биссектриса $BL$ данного треугольника и отрезок $AM$ пересекаются в точке $P$ под углом $90^\circ$.
а) Найдите отношение площади треугольника $ABP$ к площади четырёхугольника $LPMC$.
б) На отрезке $MC$ отмечена точка $F$ такая, что $MF:FC=1:4$. Пусть дополнительно известно, что прямые $LF$ и $BC$ перпендикулярны. Найдите угол $CBL$.
а) Найдите отношение площади треугольника $ABP$ к площади четырёхугольника $LPMC$.
б) На отрезке $MC$ отмечена точка $F$ такая, что $MF:FC=1:4$. Пусть дополнительно известно, что прямые $LF$ и $BC$ перпендикулярны. Найдите угол $CBL$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ такая, что $BM:MC=2:7$. Биссектриса $BL$ данного треугольника и отрезок $AM$ пересекаются в точке $P$ под углом $90^\circ$.
а) Найдите отношение площади треугольника $ABP$ к площади четырёхугольника $LPMC$.
б) На отрезке $MC$ отмечена точка $T$ такая, что $MT:TC=1:6$. Пусть дополнительно известно, что прямые $LT$ и $BC$ перпендикулярны. Найдите угол $CBL$.
а) Найдите отношение площади треугольника $ABP$ к площади четырёхугольника $LPMC$.
б) На отрезке $MC$ отмечена точка $T$ такая, что $MT:TC=1:6$. Пусть дополнительно известно, что прямые $LT$ и $BC$ перпендикулярны. Найдите угол $CBL$.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AC=3$ и $BC=14$. Построим треугольник $A_1B_1C_1$, последовательно переместив точку $A$ на некоторое расстояние параллельно отрезку $BC$ (точка $A_1$), затем точку $B$ — параллельно отрезку $A_1C$ (точка $B_1$) и, наконец, точку $C$ — параллельно отрезку $A_1B_1$ (точка $C_1$). Чему равна длина отрезка $B_1C_1$, если оказалось, что угол $A_1B_1C_1$ прямой и $A_1B_1=2$?
Ответ:
Решение:
Точка $M$ расположена внутри треугольника $ABC$; точки $H_1$, $H_2$, $H_3$ — её проекции на стороны $AB$, $BC$, $AC$ соответственно. Известно, что $AB=AC=7\sqrt3$, $BC=2\sqrt{26}$, а площади четырёхугольников $BH_1MH_2$, $CH_2MH_3$, $AH_1MH_3$ равны между собой. Найдите $MH_2$.
Ответ:
Решение:
Точки $E, F, G, H$ — середины сторон $AB, BC, CD, DA$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ соответственно, а точки $J$, $K$ — середины его диагоналей $BD$ и $AC$ соответственно. Прямая, проходящая через точку $J$ параллельно $AC$, и прямая, проходящая через точку $K$ параллельно $BD$, пересекаются в точке $N$. Найдите площадь четырёхугольника $AHNE$, если известно, что $3S(DGJH)+5S(EJFB)=11$ (через $S(\Phi)$ обозначена площадь фигуры $\Phi$).
Ответ:
Решение:
На сторонах параллелограмма $ABCD$ отмечены точки $E, F, G$ и $H$ и соединены отрезками друг с другом и с вершинами параллелограмма, как показано на рисунке. Полученные в результате разбиения параллелограмма многоугольника раскрасили в шахматном порядке. Для всех частей, закрашенных серым цветом, кроме одной, Петя отметил на рисунке их площади $y_1, \ldots, y_6$. Найдите площадь $y_7$ оставшейся серой части.
Ответ:
Решение:
На сторонах параллелограмма $ABCD$ отмечены точки $E,F,G,H,K$ и $L$, как показано на рисунке. Петя соединил некоторые из точек отрезками и раскрасил полученные многоугольники в шахматном порядке. После этого он написал на всех закрашенных многоугольниках, кроме одного, их площади $x_1,\ldots,x_{11}$. Найдите оставшуюся площадь $x_{12}$.
Ответ:
Решение:
На двух параллельных прямых взяты точки $A,B,C,D,X$, как показано на рисунке. Вася нашёл отношение $BC:AD=x$, после чего отметил точки пересечения медиан $P,Q,R$ соответственно треугольников $BAX$, $CDX$ и $AXD$. Петя вычислил площадь треугольника $PQR$: она оказалась равна $S$. Найдите площадь треугольника $AXD$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $BC$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ отмечены точки $E$ и $F$, а на сторонах $AD$ и $AB$ — их середины $M$ и $N$ соответственно. Петя соединил некоторые из точек и закрасил четыре из полученных многоугольников, как показано на рисунке, после чего на двух из них написал их площади $y$ и $z$, а две другие неизвестные отметил $x$ и $w$. Найдите наименьшее возможное значение разности площадей $x-w$.
Ответ:
Решение: