Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 331
Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Отрезок $AB$ является диаметром первой окружности, а отрезок $BC$ — диаметром второй окружности. Прямая, проходящая через точку $A$, пересекает первую окружность в точке $D$ и касается второй окружности в точке $E$, при этом $BD=9$ и $BE=12$. Найдите радиусы окружностей.
Ответ:
Решение:
Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке $K$. Хорда $AB$ большей окружности касается меньшей окружности в точке $L$, делящей хорду в отношении $AL:BL=2:3$. Найдите $AK$, если $BK=12$.
Ответ:
Решение:
Две окружности радиусов $R$ и $R'$ касаются друг друга внешним образом в точке $P$ и касаются прямой $l$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Пусть $Q$ — точка пересечения прямой $BP$ с первой окружностью. Определить, на каком расстоянии от прямой $l$ расположена точка $Q$.
Ответ:
Решение:
Две окружности касаются внешним образом: друг друга в точке $A$, а третьей окружности — в точках $B$ и $C$. Продолжение хорды $AB$ первой окружности пересекает вторую окружность в точке $D$, продолжение хорды $AC$ пересекает первую окружность в точке $E$, а продолжения хорд $BE$ и $CD$ — третью окружность в точках $F$ и $G$ соответственно. Найдите $BG$, если $BC=5$ и $BF=12$.
Ответ:
Решение:
Диагонали трапеции $ABCD$ с основаниями $AD=3$ и $BC=1$ пересекаются в точке $O$. Две окружности, пересекающие основание $BC$ в точках $K$ и $L$ соответственно, касаются друг друга в точке $O$, а прямой $AD$ — в точках $A$ и $D$ соответственно. Найдите $AK^2+DL^2$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$, вписанный в окружность с центром в точке $O$. Угол $\angle C=30^\circ$. Центр окружности симметрично отразили относительно прямой, содержащей сторону $AB$ — получилась точка $O'$. Точку, диаметрально противоположную точке $A$, симметрично отразили относительно прямой, содержащей сторону $BC$. Получилась точка $A''$. Оказалось, что точки $O'$, $B$, $A''$ лежат на одной прямой. Найдите угол $\angle B$.
Ответ:
Решение:
Рисунок (вид сверху) изображает такую ситуацию:
Ночь. На пустыре стоит секция сплошного забора высотой 2 метра (чёрная линия снизу). На постоянной высоте 6 метров из точки $A$ в точку $B$ (стрелка) летит очень яркий светлячок. Назовём точку на земле затенённой, если она хотя бы на мгновение оказалась в тени забора. Какая площадь пустыря окажется затенённой?
Ночь. На пустыре стоит секция сплошного забора высотой 2 метра (чёрная линия снизу). На постоянной высоте 6 метров из точки $A$ в точку $B$ (стрелка) летит очень яркий светлячок. Назовём точку на земле затенённой, если она хотя бы на мгновение оказалась в тени забора. Какая площадь пустыря окажется затенённой?
Ответ:
Решение:
Что больше: $\mathrm{tg}\,\dfrac{11\pi}{6}$ или меньший корень квадратного трёхчлена $11x^2-17x-13$?
Ответ:
Решение:
Сколько существует троек чисел $a$, $b$, $c$, каждое из которых служит корнем соответствующего уравнения $ax^2+bx+c=0$?
Ответ:
Решение:
Многочлен $a_{2014}x^{2014}+a_{2013}x^{2013}+\ldots+a_1x+a_0$ при всех значениях $x$ совпадает с функцией\[y=\frac{(x-1)(x-2)\ldots(x-2014)}{2014!}.\]Найдите сумму чисел $a_2+a_4+\ldots+a_{2014}$.
Ответ:
Решение:
Даны три функции: \[ \begin{aligned} f_1(x)&=(x+a_1)\left(x^2+b_1x+6\right),\\ f_2(x)&=(x+a_2)\left(x^2+b_2x+8\right),\\ f_3(x)&=(x+a_3)\left(x^2+b_3x+12\right). \end{aligned} \] Все числа $a$ и $b$ положительны, а также для каждого действительного $x$ выполняется условие $f_1(x)=f_2(x)=f_3(x)$. Найти значение суммы $a_1+b_1+a_2+b_2+a_3+b_3$.
Ответ:
Решение:
При каких значениях $a$, $b$ и $c$ множество действительных корней уравнения \[ x^5+2x^4+ax^2+b=cx \] состоит в точности из чисел $-1$ и $1$?
Ответ:
Решение:
На сколько одно из положительных чисел больше другого, если их среднее арифметическое равно $2\sqrt3$, а среднее геометрическое равно $\sqrt3$?
Ответ:
Решение:
Прямая проходит через точку с координатами $(10,0)$ и пересекает параболу $y=x^2$ в точках с абсциссами $x_1$ и $x_2$. Найдите $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$.
Ответ:
Решение:
Различные целые числа $m$ и $n$ таковы, что числа $\left(\dfrac1m-2\right)$ и $\left(\dfrac1n-2\right)$ являются корнями квадратного трёхчлена $x^2+ax+b$ с целыми коэффициентами. Найти все возможные значения выражения $a+b$.
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$, $c$ таковы, что каждое из двух уравнений $x^2+bx+a=0$ и $x^2+cx+a=1$ имеет по два целых корня, при этом все эти корни меньше $-1$. Найдите наименьшее значение $a$.
Ответ:
Решение:
Число $a$ таково, что уравнение $t^3+4t^2+4t+a=0$ имеет три действительных корня $x\lt y\lt z$. Определите, какие числовые значения может принимать выражение \[ A=x^3-4y^2-4z^2-4y-4z+32. \]
Ответ:
Решение:
В кувшин залили 7 литров воды. Ровно через сутки в кувшин добавили 5 литров воды, и эту операцию повторяли каждые очередные сутки. В промежутках между доливаниями из кувшина успевали выпить ровно половину воды, имевшейся после предыдущей заливки.
а) Какого минимального объёма должен быть кувшин, чтобы он никогда не мог наполниться при данных условиях?
б) На какой день кувшин такого объёма впервые окажется наполнен не менее чем на 99,9 процента?
а) Какого минимального объёма должен быть кувшин, чтобы он никогда не мог наполниться при данных условиях?
б) На какой день кувшин такого объёма впервые окажется наполнен не менее чем на 99,9 процента?
Ответ:
Решение:
Какое из чисел больше: \[ A=\frac{3}{(1\cdot2)^2}+\frac{5}{(2\cdot3)^2}+\ldots+\frac{87}{(43\cdot44)^2}+\frac{89}{(44\cdot45)^2}\quad\text{или}\quad B=\frac{\sqrt[6]{4-2\sqrt3}\cdot\sqrt[3]{\sqrt3+1}}{\sqrt[3]{2}}\ ?\]
Ответ:
Решение: