Объединённая межвузовская математическая олимпиада (ОММО)

Ученикам 11 «А» класса на выбор предложили пройти тестирование ровно по одному из предметов: химии, информатике или физике. Трое ребят приняли участие в тестировании по химии; более $40\%$, но менее половины учеников проходили тестирование по информатике и ровно треть — по физике. Сколько ребят участвовало в тестировании по информатике, если в классе присутствовали более $12$ учеников?

Из Москвы на Международный шахматный турнир в Нью-Васюках шахматисты всех команд (одинаковых по численности) добирались двумя способами. Некоторые команды заняли все места в $5$-местных и одной $2$-местной каютах парохода «Повелитель бурь». Другие команды предпочли занять все места в $7$-местных и одной $4$-местной каютах дирижабля «Скрябин». Сколько спортсменов было в команде, если занятых $7$-местных кают оказалось на одну больше, чем занятых $5$-местных?

Докажите, что число $2^{2014}+1$ можно представить в виде произведения трёх натуральных чисел, больших $1$.

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ прямые $AD$ и $BC$ перпендикулярны, а длина отрезка, соединяющего середины диагоналей $BD$ и $AC$, равна $2013$. Найдите длину отрезка, соединяющего середины сторон $CD$ и $AB$.

Решить систему: \[ \begin{cases} \operatorname{tg}^2x+\operatorname{ctg}^2x=2\sin^2y,\\ \sin^2y+\cos^2z=1. \end{cases} \]

Пусть \[ S_n=f(0)+f\left(\frac1n\right)+f\left(\frac2n\right)+\ldots+f\left(\frac{n-1}{n}\right)+f(1). \] Найдите $S_{2013}$ для $f(x)=\dfrac{9^x}{9^x+3}$.

На плоскости задана точка $P$. Рассматриваются различные равносторонние треугольники $ABC$, такие что $PA=2$, $PB=3$. Какое максимальное значение может принимать длина отрезка $PC$?

При каких значениях параметра $a$ уравнение $2x^4-7ax+5a^2=0$ имеет хотя бы один целый корень?

Коробка конфет имеет форму правильной шестиугольной призмы со стороной основания $10$ и высотой $5\sqrt{3}$. Из двух разных вершин коробки $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ одновременно с одной и той же скоростью начинают двигаться две мухи, меняя направление движения только в вершинах. Одна муха начинает движение в вершине $A$ и двигается только по рёбрам призмы, другая — только по диагоналям оснований и боковых граней. Через некоторое время мухи встречаются. В каких вершинах коробки может произойти встреча?

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ повёрнут на $90^\circ$ вокруг прямой, проходящей через середины противоположных рёбер $AD$ и $B_1C_1$. Найдите объём общей части исходного куба и повёрнутого.