Начала анализа

Доказать неравенство (на естественной области определения): $$\sqrt{3-x}+\sqrt{x+1} \leqslant 1+2\sqrt2-\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$$

Доказать неравенство: $2^{2x-x^2} \leqslant \sqrt{x^2-2x+5}$.

а) Доказать неравенство (на естественной области определения): $\displaystyle \frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)} \leqslant \frac{x-2}{\ln 3}$.
б) Доказать неравенство для всех $x > 1$: $\displaystyle \frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)} \leqslant \frac{x-2}{\ln (x+1)}$.

Доказать, что для $x > 0$ выполняется неравенство: $\displaystyle \sin x > x - \frac{x^3}{6}$.

Методами математического анализа доказать неравенство (на естественной области определения): $$\sqrt{4x+7-2x^2}\leqslant\sqrt{x^4-4x^3+6x^2-4x+10}.$$ Указать значение $x$, при котором неравенство обращается в равенство.

Методами математического анализа доказать неравенство (на естественной области определения): $$\sqrt{x^4+4x^3+7x^2+6x+2}+3\geqslant\sqrt{-2x^2-4x+7}.$$ Указать значение $x$, при котором неравенство обращается в равенство.

Методами математического анализа доказать неравенство: $$3\cos\left(\frac{\pi\,x}{2}\right)\leqslant\sqrt{x^2-8x+25}$$ Указать значение $x$, при котором неравенство обращается в равенство.

Методами математического анализа доказать неравенство: $$2\cos\left(\pi\,x\right)\leqslant\log_2(x^2-4x+8).$$ Указать значение $x$, при котором неравенство обращается в равенство.

Исследовать функцию и построить её график: $\displaystyle y=f(x)=\frac12(x^2+4x)+4\ln(3-x)$. При исследовании обратите внимание на область определения функции и $\displaystyle \lim_{x\to3-0}f(x)$.

Исследовать функцию и построить её график: $\displaystyle y=f(x)=\frac12(x^2+6x)+3\ln(1-x)$. При исследовании обратите внимание на область определения функции и $\displaystyle \lim_{x\to1-0}f(x)$.

Найти нули производной функции $$\displaystyle f(x)=\frac{4^x-24\cdot2^x}{\ln4}+32x$$ и исследовать функцию на монотонность.

Найти нули производной функции $$\displaystyle f(x)=\frac{9^x-24\cdot3^x}{\ln9}+27x$$ и исследовать функцию на монотонность.

Найти первообразную функции $y=3x^2-2\sin2x$, проходящую через точку $(0;~-1)$.

Найти первообразную функции $y=3\cos3x+2x$, проходящую через точку $\displaystyle\left(\frac{\pi}{3};~0\right)$.

Найти первообразную функции $y=3\sin 3x+6x^2$, проходящую через точку $\displaystyle\left(\pi;~1\right)$.

Найти первообразную функции $y=324x^3-3\cos3x$, проходящую через точку $\displaystyle\left(\frac{\pi}{3};~0\right)$.

Найти первообразную функции $y=6\sin2x+192x^2$, проходящую через точку $\displaystyle\left(\frac{\pi}{4};~0\right)$.

Найти первообразную функции $\displaystyle y=\frac{2x^3+8x+1}{x^2+4}$, проходящую через точку $(2;~4)$.

Найти первообразную функции $\displaystyle\frac{\ln4(16^x-1)}{4^x}$, проходящую через точку $\displaystyle\left(1,~\frac14\right)$.

Найти интеграл: $\displaystyle\int x^2\cos(5x^3)\,dx$.