Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
Известно, что для положительных чисел $a$, $b$, $c$ каждое из трёх уравнений \[ ax^2+20bx+c=0,\quad bx^2+20cx+a=0,\quad cx^2+10ax+b=0 \] имеет хотя бы один действительный корень. Каково наименьшее значение произведения корней второго уравнения, если произведение корней первого уравнения равно 11? (Если уравнение имеет два совпадающих корня, то произведение считается равным квадрату этого корня.)
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение параметра $p$, для которого при всех $0\leqslant x\leqslant 1$, $0\leqslant y\leqslant 2$, $0\leqslant z\leqslant 4$ выполняется неравенство $xyz+p\geqslant 11x+4y+2z$.
Ответ:
Решение:
Известно, что для всех пар положительных чисел $(x;y)$, для которых выполняются равенство $x+y=7$ и неравенство $x^2+y^2\gt 28$, выполняется и неравенство $x^4+y^4\gt m$. Какое наибольшее значение может принимать $m$?
Ответ:
Решение:
Известно, что при некоторых $x$ и $y$ ровно два из четырёх чисел \[x-2y-2{,}5;\quad 2x-y-3;\quad x^2-2x+y^2+y+3;\quad x^2-x+y^2+2y+2{,}5\] равны между собой. Найдите наибольшее возможное значение выражения $x+y$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $a,b,c$ — длины сторон, а $\alpha,\beta,\gamma$ — соответственно противолежащие им углы. Какое наибольшее значение может принимать выражение \[ a\left(b^2+c^2\right)\cos(\alpha)+b\left(c^2+a^2\right)\cos(\beta)+c\left(a^2+b^2\right)\cos(\gamma), \] если известно, что $abc=2$?
Ответ:
Решение:
Известно, что для положительных чисел $a$, $b$, $c$ каждое из трёх уравнений \[ ax^2+15bx+c=0,\quad bx^2+15cx+a=0,\quad cx^2+15ax+b=0 \] имеет хотя бы один действительный корень. Каково наименьшее значение произведения корней второго уравнения, если произведение корней первого уравнения равно 27? (Если уравнение имеет два совпадающих корня, то произведение считается равным квадрату этого корня.)
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение выражения \[ M=|b|+|5a-b|+|2a+b-3|, \] где $a$ и $b$ — действительные числа. При каких $a$ и $b$ оно достигается?
Ответ:
Решение:
Найдите сумму квадратов всех решений уравнения \[x^2-24[x]+23=0.\] (Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1{,}7]=1$, $-[1{,}7]=-2$.)
Ответ:
Решение:
Найдите сумму квадратов всех решений уравнения \[ x^2-14[3x]+152=0. \] (Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1{,}7]=1$, $[-1{,}7]=-2$.)
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите сумму всех решений уравнения \[ [x]^2+40x+336=0. \] (Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1{,}7]=1$, $-[1{,}7]=-2$.)
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x+y^4-2y^2=\ln x,\\ 2\operatorname{arctg}x+\arcsin y=0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему \[ \begin{cases} x^2+y^2\leqslant2,\\ 81x^4-18x^2y^2+y^4-360x^2-40y^2+400=0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему \[ \begin{cases} x^2+y^2\leqslant 1,\\ 16x^4-8x^2y^2+y^4-40x^2-10y^2+25=0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \sqrt{x+5}-\sqrt{1-x-4z}+4=2\sqrt{y-4x-x^2+z},\\ |y+4|+4|y-5|=\sqrt{81-z^2}. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему \[ \begin{cases} \dfrac{x^7+y^7}{z^3}+\dfrac{y^7+z^7}{x^3}+\dfrac{z^7+x^7}{y^3}=2(xy)^2+2(yz)^2+2(zx)^2,\\ (\sqrt{yz}-2)(\sqrt{zx}-4)\leqslant 0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему \[ \begin{cases} x_1^2+x_2^2+\ldots+x_{100}^2=x_1x_2+x_2x_3+\ldots+x_{100}x_1,\\ |x_1-1|+|x_2-2|+\ldots+|x_{100}-100|\leqslant 2500. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Положительные числа $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ и $y$ удовлетворяют равенствам: \[ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5-517-256y+96y^2=0 \] и \[ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}+\frac{1}{x_5}+763-16y^3+y^4=0. \] Какое наибольшее значение может принимать $y$?
Ответ:
Решение:
Известно, что число $a$ удовлетворяет уравнению $x^3+3x^2+6x-9=0$, а число $b$ — уравнению $x^3+3x^2+6x+17=0$. Найдите наибольшее возможное значение суммы $a+b$.
Ответ:
Решение:
Известно, что число $a$ удовлетворяет уравнению $x^3+6x^2+17x+7=0$, а число $b$ — уравнению $x^3-3x^2+8x+5=0$. Найдите наименьшее возможное значение суммы $a+b$.
Ответ:
Решение: