Поиск задач

В остроугольном треугольнике $ABC$ $\angle B=75^\circ$, длина $AC=2$ см, $H$ — точка пересечения его высот. Площадь треугольника $AHC$ равна $\sqrt{12}-3$ см$^2$. Найти площадь треугольника $ABC$.

В треугольнике $ABC$ с углом $A$, равным $60^\circ$, проведена биссектриса $AD$. Радиус описанной около треугольника $ADC$ окружности с центром в точке $O$ равен $2\sqrt3/3$. Найдите длину отрезка $BM$, где $M$ — точка пересечения отрезков $AD$ и $BO$, если $AB=1$.

В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $L$ — точка пересечения отрезков $B_1C_1$ и $AA_1$, $K$ — точка пересечения отрезков $B_1A_1$ и $CC_1$. Найдите отношение $LM:MK$, если $M$ — точка пересечения биссектрисы $BB_1$ с отрезком $LK$, и $AB:BC:AC=2:3:4$.

Биссектрисы $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ внешних углов треугольника $ABC$ пересекают продолжения противоположных сторон треугольника в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ соответственно. Найдите угол $A_1C_1B_1$ и длину отрезка $A_1B_1$, если $AC=5$, $BC=2$, а угол $ACB$ равен $\arccos\dfrac{13}{20}$.

Биссектрисы $AA_1$ и $BB_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$, причем $AO:OA_1=2:1$. Биссектриса внешнего угла при вершине $C$ треугольника $ABC$ пересекает прямую $AB$ в точке $C_1$. Найдите угол $B_1A_1C_1$ и длину отрезка $A_1C_1$, если $AB=2$, $AC=4$.

Последовательность величин углов при вершинах $A$, $B$, $C$ в остроугольном треугольнике $ABC$ образует в данном порядке возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть $D$, $E$ — точки пересечения его высот и биссектрис, соответственно. Последовательность величин углов при вершинах $B$, $D$, $E$ в остроугольном треугольнике $BDE$ образует в данном порядке возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите градусную величину угла $C$ в треугольнике $ABC$.

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $A$ на стороне $AB$ как на диаметре построена окружность. Прямые $AC$ и $BC$ пересекают эту окружность в точках $D$ и $E$ соответственно ($D\not\equiv A$, $E\not\equiv B$). Через точки $D$ и $E$ к окружности проведены касательные, пересекающиеся в точке $F$. Прямая $CK$ перпендикулярна прямой $AB$, а точка $K$ — точка пересечения прямых $BD$ и $CK$. Найдите радиус описанной около треугольника $ACK$ окружности, если $FD=6$, а угол $CBD$ равен $\arcsin 0{,}6$.

От прямой линии, проходящей через точки пересечения медиан и биссектрис тупоугольного треугольника, двумя его сторонами отсекается отрезок длиной на 1 см меньше, чем одна из длин сторон данного треугольника. Найдите наименьшую из возможных длин сторон этого треугольника, если их длины выражаются натуральными числами (в см) и образуют арифметическую прогрессию.

В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $L$ — точка пересечения отрезков $B_1C_1$ и $AA_1$, $K$ — точка пересечения отрезков $B_1A_1$ и $CC_1$, $M$ — точка пересечения $BK$ и $AA_1$, $N$ — точка пересечения $BL$ и $CC_1$. Найдите отношение $MS:SN$, если $S$ — точка пересечения биссектрисы $BB_1$ с отрезком $MN$, и $AB:BC:AC=2:3:4$.

Последовательность величин углов при вершинах $A$, $B$, $C$ в остроугольном треугольнике $ABC$ образует в данном порядке возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть $D$, $E$ — точки пересечения его высот и биссектрис, соответственно. Величины углов при вершинах в треугольнике $BDE$ образует в некотором порядке возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите градусную величину угла $A$ в треугольнике $ABC$.

Последовательность величин сторон в остроугольном треугольнике образует арифметическую прогрессию. Пусть $M$, $I$ — точки пересечения его медиан и биссектрис, соответственно. Найдите косинус его большего угла, если длина отрезка $MI$ в 10 раз меньше одной из сторон данного треугольника.

Точка $M$ лежит на описанной около правильного треугольника $ABC$ окружности и не совпадает с его вершинами. Докажите, что сумма расстояний от точки $M$ до прилегающих вершин треугольника равна расстоянию от точки $M$ до третьей его вершины: $AM+CM=BM$.

На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $D$ и $E$ так, что площадь треугольника $ADE$ равна $0{,}5$. Вписанная в четырехугольник $BDEC$ окружность касается стороны $AB$ в точке $K$, причем $AK=3$. Найдите тангенс угла $BAC$, если около четырехугольника $BDEC$ можно описать окружность, и $BC=15$.

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ длины сторон $AB$ и $BC$ равны, $DB$ — биссектриса угла $ADC$, $AD:DC=4:3$. Найдите косинус угла $AKB$, если $K$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$, и $BK:KD=1:3$.

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=3$, $BC=4$, $CD=6$ и $AD=2$ вписан в окружность. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, а прямые $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $F$. Биссектриса угла $CFD$ пересекает стороны $AB$ и $CD$ в точках $K$ и $L$ соответственно, а биссектриса угла $BEC$ пересекает стороны $AD$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$ и площадь четырёхугольника $KMLN$.

В тетраэдре $ABCD$ суммы трёх плоских углов при каждой вершине равны $180^\circ$. Найдите объём тетраэдра, если $BC=4$, $\cos\angle BAC=3/4$, $\sin\angle CBD=5\sqrt7/16$.

Искусственный спутник (ИСЗ) движется по круговой орбите вокруг Земли (имеет форму шара) на высоте $H$, равной радиусу Земли $R=6372$ км, с периодом обращения $T=4$ ч и постоянной угловой скоростью $\omega=\frac{2\pi}{T}$. Для того, чтобы можно было наблюдать за спутником с поверхности Земли, он должен находиться выше плоскости горизонта. Определите: а) продолжительность наблюдения за спутником (в минутах) от момента его появления над горизонтом до момента захода за горизонт, если траектория ИСЗ проходит ровно над головой наблюдателя; б) плоский угол при вершине конуса обзора поверхности Земли с ИСЗ (в градусах).

В $2022$ году исполняется $65$ лет запуска первого искусственного спутника Земли (ИСЗ). В настоящее время для обеспечения бесперебойной работы сотовой связи, систем теле и радиовещания используются различные виды спутников, находящихся на различных орбитах, на различных высотах.
Зоной покрытия спутника назовем часть поверхности земного шара, в пределах которой обеспечивается уровень сигналов к спутнику и от него, необходимый для их приема с заданным качеством в конкретный момент времени. Как правило, эта часть поверхности ограничивается окружностью, проходящей по линии видимого горизонта. На рисунке - линия проходит через точку Г.
а) Определите площадь земной поверхности (в км$^2$), которая является зоной покрытия спутника, находящегося на высоте $H=500$ км относительно земной поверхности, считая ее сферой радиуса $R=6400$ км c центром в точке $O$.
б) Найдите все значения $n\gt 1$, для которых на поверхности земли можно расположить окружности $C_1,\ \ldots,\ C_n$, каждая из которых внешним образом касается окружности $C_0$, с центром в точке $A$ и радиусом $r\lt R$, каждая из них является границей зоны покрытия ИСЗ, находящегося на той же высоте $H$, что и спутник с зоной покрытия $C_0$. Каждая из зон покрытия $C_i$ должна внешним образом касаться окружностей $C_0$ и $C_{i+1}$, $i=0,1,\ldots,n-1$, т. е. первая касается $C_0$ и $C_2$, вторая — $C_0$ и $C_3$, и т. д. Окружность $C_n$ должна касаться $C_0$ и $C_1$.

Вычислите $\operatorname{tg}^2x+\operatorname{ctg}^2x$, если $\operatorname{tg}x-\operatorname{ctg}x=-3$.

Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми равно 12 км, одновременно вышел пешеход и выехал автобус. Доехав до пункта B менее чем за один час, автобус, не останавливаясь, повернул обратно и стал двигаться по направлению к пункту A со скоростью, в два раза большей первоначальной. Через 12 мин после своего отправления из пункта B автобус встретился с пешеходом. Определите наибольшее возможное целое значение скорости (в км/ч) пешехода, и для этого значения скорости пешехода определите первоначальную скорость автобуса (в км/ч). В ответ запишите сумму найденных значений скоростей пешехода и автобуса.