Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
Равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$) вписан в окружность $\omega$, а на дуге $AC$, не содержащей точку $B$, взяты точки $E$ и $D$ так, что отрезки $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $F$. На лучах $EA$ и $DC$ отметили точки $X$ и $Y$ соответственно таким образом, что $AX=CF$ и $CY=AF$. Найдите площадь четырёхугольника $BXFY$, если $BF=7{,}5$, $XY=15$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на медиане $AM$ и биссектрисе $CL$ как на диаметрах построены окружности $\Omega$ и $\omega$ соответственно, пересекающиеся в точках $P$ и $Q$. Отрезок $PQ$ параллелен высоте треугольника $ABC$, проведённой из вершины $B$. Окружность $\Omega$ пересекает сторону $AC$ повторно в точке $N$. Найдите длины сторон $AC$ и $BC$, если $AB=10$, $AN=8$.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$ ($AB\lt CD$). Окружность $\omega_1$, описанная около треугольника $ABC$, повторно пересекает сторону $AD$ в точке $F$, а окружность $\omega_2$, описанная около треугольника $ACD$, повторно пересекает сторону $BC$ в точке $E$ (точки $E$ и $F$ расположены так, как показано на рисунке). Найдите отношение длин отрезков $AF$ и $CE$, если отношение радиуса окружности $\omega_1$ к радиусу окружности $\omega_2$ равно $1:2$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $X$ и $Y$, а на меньшей дуге $BC$ его описанной окружности отмечены точки $P$ и $Q$ так, что указанные на чертеже штрихами дуги и отрезки равны. Лучи $PX$ и $QY$ пересекаются в точке $R$. Найдите угол $BAC$, если угол $BRC$ равен $\alpha$.
Ответ:
Решение:
Вычислите площадь множества точек, координаты которых $(x;y)$ удовлетворяют неравенству \[ |x-1|+|x+1|+2|y|\leqslant 8. \]
Ответ:
Решение:
Изобразите на плоскости $(x,y)$ множество точек, удовлетворяющих уравнению \[ |3x|+|4y|+|48-3x-4y|=48, \] и найдите площадь полученной фигуры.
Ответ:
Решение:
Фигура, заданная на координатной плоскости двойным неравенством $0\leqslant x^2+y^2-4y\leqslant10$, разрезается линиями, задаваемыми уравнением $(x+2-y)\bigl(\sqrt{3}ax+y-2\bigr)=0$, на несколько частей. Найдите наибольшее число $a$, при котором площадь наименьшей части относится к площади наибольшей части как $5:7$.
Ответ:
Решение:
Изобразите на плоскости $(x,y)$ множество точек, удовлетворяющих уравнению \[ \left|16+6x-x^2-y^2\right|+|6x|=16+12x-x^2-y^2, \] и найдите площадь полученной фигуры.
Ответ:
Решение:
Изобразите на плоскости $(x,y)$ множество точек, координаты которых удовлетворяют системе \[ \begin{cases} (|x|+x)^2+(|y|-y)^2\leqslant 16,\\ y-3x\leqslant 0, \end{cases} \] и найдите площадь полученной фигуры.
Ответ:
Решение:
Изобразите на плоскости $(x,y)$ множество точек, удовлетворяющих уравнению \[ |5x|+|12y|+|60-5x-12y|=60, \] и найдите площадь полученной фигуры.
Ответ:
Решение:
а) Изобразите на координатной плоскости фигуру $\Phi$, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств \[ \begin{cases} x^2-y^2\leqslant 2(x-y),\\ x^2+y^2\leqslant 4(x+y-1).\end{cases} \]
б) Найдите площадь фигуры $\Phi$ и расстояние от точки $T(0,4)$ до ближайшей точки фигуры $\Phi$.
б) Найдите площадь фигуры $\Phi$ и расстояние от точки $T(0,4)$ до ближайшей точки фигуры $\Phi$.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости рассматривается фигура $M$, состоящая из всех точек, координаты $(x;y)$ которых удовлетворяют системе неравенств \[ \begin{cases} |x-1|+|5-x|\leqslant 4,\\ \dfrac{x^2-6x+2y+7}{y+x-4}\leqslant 0.\end{cases} \] Изобразите фигуру $M$ и найдите её площадь.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости рассматривается фигура $M$, состоящая из всех точек, координаты $(x;y)$ которых удовлетворяют системе неравенств \[ \begin{cases} y-x\geqslant|x+y|,\\ \dfrac{x^2+8x+y^2+6y}{2y-x-8}\leqslant 0.\end{cases} \] Изобразите фигуру $M$ и найдите её площадь.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости рассматривается фигура $M$, состоящая из всех точек, координаты $(x;y)$ которых удовлетворяют системе неравенств \[ \begin{cases} |y|+|4+y|\leqslant4,\\ \dfrac{x-y^2-4y-3}{2y-x+3}\geqslant0. \end{cases} \] Изобразите фигуру $M$ и найдите ее площадь.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости рассматривается фигура $M$, состоящая из всех точек, координаты $(x;y)$ которых удовлетворяют системе неравенств \[ \begin{cases} x-y\geqslant|x+y|,\\ \dfrac{x^2-6x+y^2-8y}{3y-x+6}\geqslant0. \end{cases} \] Изобразите фигуру $M$ и найдите ее площадь.
Ответ:
Решение:
Пусть $M$ — фигура на декартовой плоскости, состоящая из всех точек $(x;y)$ таких, что существует пара вещественных чисел $a$, $b$, при которых выполняется система неравенств \[ \begin{cases} (x-a)^2+(y-b)^2\leqslant 2,\\ a^2+b^2\leqslant\min(2a+2b;2). \end{cases} \] Найдите площадь фигуры $M$.
Ответ:
Решение:
Изобразите на плоскости фигуру $\Phi$, состоящую из точек $(x,y)$ координатной плоскости таких, что выполнена система неравенств \[ \begin{cases} \sqrt{x^2-3y^2+4x+4}\leqslant 2x+1,\\ x^2+y^2\leqslant 4.\end{cases} \] Определите, из скольких частей состоит фигура $\Phi$.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, состоящей из всех точек с координатами $(x;y)$, удовлетворяющими системе \[ \begin{cases} |2x|+|y|+|4-2x-y|\gt 4,\\ x^2-2x-4y+y^2\leqslant0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, состоящей из всех точек с координатами $(x;y)$ удовлетворяющими системе \[ \begin{cases} 2y+3x\geqslant|2y-3x|,\\ y\leqslant-2x+16,\\ x^2-12y+y^2+16\geqslant0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости построена фигура $\Phi$, состоящая из всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенству \[\left|x-\dfrac{15}{2}+\dfrac{y}{6\sqrt3}\right|+\left|x-\dfrac{15}{2}-\dfrac{y}{6\sqrt3}\right|\leqslant 3.\] Фигуру $\Phi$ непрерывно повернули вокруг начала координат на угол $\pi$ против часовой стрелки. Найдите площадь множества $M$, которое замела фигура $\Phi$ при этом повороте.
Ответ:
Решение: