Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1597
Действительные числа $a$, $b$, $c$, $d$, по модулю большие единицы, удовлетворяют соотношению \[abc+abd+acd+bcd+a+b+c+d=0.\] Докажите, что \[\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}+\frac{1}{c-1}+\frac{1}{d-1}\gt 0.\]
Ответ:
Решение:
Положительные числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяют соотношению $ab+bc+ca=1$. Докажите, что \[ \sqrt{a+\dfrac{1}{a}}+\sqrt{b+\dfrac{1}{b}}+\sqrt{c+\dfrac{1}{c}}\geqslant 2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right). \]
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$, $c$ и $d$ таковы, что $a^2+b^2+c^2+d^2=4$. Докажите, что $(2+a)(2+b)\geqslant cd$.
Ответ:
Решение:
Пусть $P(x)$ — многочлен степени $n\geqslant2$ с неотрицательными коэффициентами, а $a$, $b$ и $c$ — длины сторон некоторого остроугольного треугольника. Докажите, что числа $\sqrt[n]{P(a)}$, $\sqrt[n]{P(b)}$ и $\sqrt[n]{P(c)}$ также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.
Ответ:
Решение:
Пусть $P(x)$ — многочлен степени $n\geqslant2$ с неотрицательными коэффициентами, а $a$, $b$ и $c$ — длины сторон некоторого треугольника. Докажите, что числа $\sqrt[n]{P(a)}$, $\sqrt[n]{P(b)}$ и $\sqrt[n]{P(c)}$ также являются длинами сторон некоторого треугольника.
Ответ:
Решение:
Положительные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что \[ a^2b+b^2c+c^2a=2\quad\text{и}\quad ab^2+bc^2+ca^2=4. \] Докажите, что из чисел $a$, $b$, $c$ какие-то два отличаются более чем на 2.
Ответ:
Решение:
Сумма положительных чисел $a$, $b$, $c$ и $d$ равна 3. Докажите неравенство \[\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\leqslant\frac{1}{a^3b^3c^3d^3}.\]
Ответ:
Решение:
Сумма положительных чисел $a$, $b$, $c$ и $d$ равна 3. Докажите неравенство \[\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}\leqslant\frac{1}{a^2b^2c^2d^2}.\]
Ответ:
Решение:
На доске выписаны в ряд $n$ положительных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$. Вася хочет выписать под каждым числом $a_i$ число $b_i\geqslant a_i$ так, чтобы для любых двух из чисел $b_1$, $b_2$, $\ldots$, $b_n$ отношение одного из них к другому было целым. Докажите, что Вася может выписать требуемые числа так, чтобы выполнялось неравенство $b_1b_2\ldots b_n\leqslant2^{(n-1)/2}a_1a_2\ldots a_n$.
Ответ:
Решение:
Даны положительные числа $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$, где $n\geqslant 2$. Докажите, что \[ \frac{1+x_1^2}{1+x_1x_2}+\frac{1+x_2^2}{1+x_2x_3}+\ldots+\frac{1+x_{n-1}^2}{1+x_{n-1}x_n}+\frac{1+x_n^2}{1+x_nx_1}\geqslant n. \]
Ответ:
Решение:
Пусть $a_1$, $\ldots$, $a_{25}$ — целые неотрицательные числа, а $k$ — наименьшее из них. Докажите, что \[ [\sqrt{a_1}\,]+[\sqrt{a_2}\,]+\ldots+[\sqrt{a_{25}}\,]\geqslant\left[\sqrt{a_1+\ldots+a_{25}+200k}\,\right]. \] (Как обычно, через $[x]$ обозначается целая часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
Ответ:
Решение:
Числа $x$, $y$ и $z$ удовлетворяют условию $x^2+y^2+z^2=1$. Докажите, что \[(x-y)(y-z)(x-z)\leqslant\frac{1}{\sqrt{2}}.\]
Ответ:
Решение:
Даны числа $a$, $b$, $c$, не меньшие 1. Докажите, что \[ \frac{a+b+c}{4}\geqslant\frac{\sqrt{ab-1}}{b+c}+\frac{\sqrt{bc-1}}{c+a}+\frac{\sqrt{ca-1}}{a+b}. \]
Ответ:
Решение:
Докажите, что для любых положительных $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_9$ верно неравенство \[\frac{x_1-x_3}{x_1x_3+2x_2x_3+x_2^2}+\frac{x_2-x_4}{x_2x_4+2x_3x_4+x_3^2}+\ldots+\frac{x_8-x_1}{x_8x_1+2x_9x_1+x_9^2}+\frac{x_9-x_2}{x_9x_2+2x_1x_2+x_1^2}\geqslant0.\]
Ответ:
Решение:
Даны неотрицательные числа $a$, $b$, $c$, $d$ такие, что $a+b+c+d=8$. Докажите, что \[ \frac{a^3}{a^2+b+c}+\frac{b^3}{b^2+c+d}+\frac{c^3}{c^2+d+a}+\frac{d^3}{d^2+a+b}\geqslant4. \]
Ответ:
Решение:
Докажите, что для любых трех положительных вещественных чисел $x$, $y$, $z$ выполнено неравенство \[ (x-y)\sqrt{3x^2+y^2}+(y-z)\sqrt{3y^2+z^2}+(z-x)\sqrt{3z^2+x^2}\geqslant0. \]
Ответ:
Решение:
Даны ненулевые числа $a$, $b$, $c$. Докажите, что выполняется неравенство \[ \left|\frac{b}{a}-\frac{b}{c}\right|+\left|\frac{c}{a}-\frac{c}{b}\right|+|bc+1|\gt 1. \]
Ответ:
Решение:
Пусть $a$, $b$, $c$ — положительные числа, причём $a+b+c=3$. Докажите, что \[ \frac{a}{b^4+2b}+\frac{b}{c^4+2c}+\frac{c}{a^4+2a}\geqslant1. \]
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$ и $c$ больше единицы и удовлетворяют равенству \[ \left(a-\frac{1}{b}\right)\left(b-\frac{1}{c}\right)\left(c-\frac{1}{a}\right)=1. \] Докажите, что \[ \left(a-\frac{1}{a}\right)^2+\left(b-\frac{1}{b}\right)^2+\left(c-\frac{1}{c}\right)^2\geqslant\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}. \]
Ответ:
Решение:
Числа $x$, $y$, $z$ таковы, что $x\in[-3,7]$, $y\in[-2,5]$, $z\in[-5,3]$.
1. Найдите наименьшее возможное значение величины $x^2+y^2$.
2. Найдите наименьшее возможное значение величины $xyz-z^2$.
1. Найдите наименьшее возможное значение величины $x^2+y^2$.
2. Найдите наименьшее возможное значение величины $xyz-z^2$.
Ответ:
Решение: