Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
В треугольник $ABC$ вписаны два равных прямоугольника $PQRS$ и $P_1Q_1R_1S_1$ (при этом точки $P$ и $P_1$ лежат на стороне $AB$, точки $Q$ и $Q_1$ лежат на стороне $BC$, а точки $R$, $S$, $R_1$ и $S_1$ — на стороне $AC$). Известно, что $PS=12$, $P_1S_1=3$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ взяты точки $D$ и $E$ соответственно, а отрезки $BD$ и $CE$ пересекаются в точке $F$. Пусть $G$ — такая точка на отрезке $AC$, что прямая $BG$ делит $CF$ пополам. Известно, что $BE=EF=5$, $CD=DF=10$, $AG=18$. Найдите $AE$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $BM=MN=NC$. Прямая, параллельная $AN$ и проходящая через точку $M$, пересекает продолжение стороны $AC$ за точку $A$ в такой точке $D$, что $AB=CD$. Найдите $AB$, если $BC=6$, $\cos(2\angle CDM)=-\dfrac{3}{4}$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ угол $B=60^\circ$, а точки $D$, $E$ и $F$ лежат на сторонах $CA$, $AB$ и $BC$ соответственно, причём $BE=ED=DF=FB=10$. Отрезки $AF$ и $CE$ пересекаются в точке $X$. Найдите длину $XA$, если $XF=4$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно $1$, угол $ABC$ равен $2\operatorname{arctg}\frac{1}{2}$. Точка $D$ лежит на стороне $BC$ так, что площадь треугольника $ABC$ вчетверо больше площади треугольника $ADC$. Найдите расстояние от точки $D$ до прямой $AB$ и радиус окружности, описанной около треугольника $ADC$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$, у которого высота, проведённая к стороне $BC$, в два раза меньше этой стороны, а высота, проведённая к стороне $AC$, в $32$ раза меньше этой стороны. Найдите синус угла $C$.
Ответ:
Решение:
Серединный перпендикуляр к стороне $AC$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $P$. Известно, что $AP=1$, $BP:PC=2$, а высота $BH$ треугольника $ABC$ равна $0{,}5$. Найдите наименьшее возможное значение радиуса окружности, описанной около треугольника $ACP$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ равна $2$, угол $ABM$ равен $\operatorname{arctg}\frac{2}{3}$, угол $CBM$ равен $\operatorname{arctg}\frac{1}{5}$. Найти стороны $AB$, $BC$ и биссектрису $BE$ треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
На продолжении стороны $AC$ треугольника $ABC$ за точку $A$ отмечена точка $T$ такая, что $\angle BAC=2\angle BTC$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что $AB=AC$, $BT=70$, $AT=37$.
Ответ:
Решение:
Точки $P$ и $Q$ — середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ соответственно, а $X$ — точка пересечения перпендикуляра к $AB$, проходящего через точку $A$, с перпендикуляром к $BC$, проходящим через точку $Q$. Найдите длину отрезка $BC$, если известно, что $PX=29$, а угол $BAC$ острый и $\sin\angle BAC=\dfrac18$.
Ответ:
Решение:
а) В прямоугольном треугольнике $ABC$ на катете $AC$ и гипотенузе $AB$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно, такие что $AD:AC=3:5$ и $DE\perp AB$. Найдите тангенс угла $BAC$, если известно, что $\angle CED=45^\circ$.
б) Пусть дополнительно известно, что $AC=\sqrt{29}$. Найдите площадь треугольника $CED$.
б) Пусть дополнительно известно, что $AC=\sqrt{29}$. Найдите площадь треугольника $CED$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ на катете $AC$ и гипотенузе $AB$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно, такие что $DE\perp AB$. Найдите отношение $AD:AC$ и площадь треугольника $AED$, если известно, что $AC=\sqrt7$, $BC=2\sqrt{\frac73}$, а $\angle CED=30^\circ$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике длины катетов равны $|2x-2|$ и $|x^2+3x|$, а длина гипотенузы равна $|3x+1|$. Найдите $x$.
Ответ:
Решение:
Известно, что \[ \dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}+\dfrac{1}{z-x}=1{,}5. \] Какое наибольшее значение может принимать сумма \[ \dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{(y-z)^2}+\dfrac{1}{(z-x)^2}\,? \]
Ответ:
Решение:
Положительные числа $x$ и $y$ таковы, что значение выражения \[ K=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{xy} \] не изменяется, если $x$ уменьшить на 1, а $y$ — увеличить на 1. Найдите все возможные значения выражения $M=x^3-y^3-3xy$.
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$, $c$ с нулевой суммой таковы, что \[ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=49. \] Какое наименьшее значение может принимать выражение $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$?
Ответ:
Решение:
Известно, что \[ \dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}+\dfrac{1}{z-x}=2{,}5. \] Какое наибольшее значение может принимать сумма \[ \dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{(y-z)^2}+\dfrac{1}{(z-x)^2}\,? \]
Ответ:
Решение:
Известно, что одним из корней уравнения \[ x^2-4a^2b^2x=4 \] является $x_1=(a^2+b^2)^2$. Найдите $a^4-b^4$.
Ответ:
Решение:
Пусть для некоторых чисел $x$, $y$, $z$ выполняется равенство \[ \frac{1}{x-y}+\frac{1}{y-z}+\frac{1}{z-x}=1{,}5. \] Найдите наименьшее возможное значение выражения $\dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{(y-z)^2}+\dfrac{1}{(z-x)^2}$.
Ответ:
Решение:
Для положительных чисел $x$ и $y$ с суммой $7$ Петя выписал на доску числа \[\dfrac{x^2+y^2}{x+y},\quad\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2},\quad\dfrac{x^4+y^4}{x^3+y^3}.\] Оказалось, что выписанные числа образуют арифметическую прогрессию (в указанном порядке). Какое наибольшее значение может принимать сумма $x^2+y^2$?
Ответ:
Решение: