Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
Дана геометрическая прогрессия $b_1, b_2, \ldots, b_{3000}$, все члены которой положительны, а их сумма равна $S$. Известно, что если все её члены с номерами, кратными 3 (т. е. $b_3, b_6, \ldots, b_{3000}$), увеличить в 50 раз, сумма $S$ увеличится в 10 раз. А как изменится $S$, если все её члены, стоящие на чётных местах (т. е. $b_2, b_4, \ldots, b_{3000}$), увеличить в 2 раза?
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$, $c$ являются первым, вторым и третьим членами геометрической прогрессии соответственно (числа $a$, $b$, $c$ не заданы), а четвёртый член прогрессии является корнем уравнения $ax^2+2bx+c=0$. Найдите третий член прогрессии.
Ответ:
Решение:
Найдите все действительные значения $x$, при каждом из которых существует геометрическая прогрессия, состоящая из действительных чисел и такая, что её седьмой член равен $\sqrt{(25x-9)(x-6)}$, девятый член равен $x+3$, а пятнадцатый член равен $\sqrt{\dfrac{25x-9}{(x-6)^3}}$.
Ответ:
Решение:
Ваня с родителями ест плитку шоколада. Сначала мама откусила 13-ую часть плитки, а оставшуюся часть отдала Ване. Затем Ваня откусил 13-ую часть от того, что осталось, и отдал остальное папе. После этого папа откусил 13-ую часть от полученного и отдал остаток маме. Далее мама снова откусила 13-ую часть, отдала остаток Ване и так далее (до бесконечности). Во сколько раз больше шоколада, чем Ваня, съели мама и папа вместе? Ответ округлите до трёх знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее значение может принимать знаменатель геометрической прогрессии $b_1, b_2, \ldots$, если число $5$ является корнем уравнения $b_{10}x^9+\ldots+b_3x^2+b_2x+b_1=0$?
Ответ:
Решение:
Числа $x$, $7$, $y$ (в указанном порядке) образуют геометрическую прогрессию. Числа $x$, $10$, $y$ (в указанном порядке) образуют арифметическую прогрессию. Найдите $x^2+y^2$.
Ответ:
Решение:
Три натуральных числа являются последовательными членами геометрической прогрессии. Если из второго вычесть $3$, а из третьего вычесть $14$, то получатся три последовательных члена арифметической прогрессии. Чему равна сумма трёх членов геометрической прогрессии, если разность арифметической прогрессии равна $1$?
Ответ:
Решение:
Три натуральных числа являются последовательными членами арифметической прогрессии. Если ко второму прибавить 2, а к третьему прибавить 12, то получатся три последовательных члена геометрической прогрессии. Чему равна сумма трёх данных чисел, если знаменатель геометрической прогрессии равен 3?
Ответ:
Решение:
Решите неравенство \[ \left(x^2-3x+3\right)^{4x^3+5x^2}\leqslant\left(x^2-3x+3\right)^{2x^3+18x}. \]
Ответ:
Решение:
Решите неравенство \[ \dfrac{\sqrt[3]{\frac{x^2}{2}}-\sqrt[6]{4x^2}}{(x^2-4|x|)^2-8x^2+32|x|-48}\geqslant 0. \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите все значения переменной $x$, при каждом из которых оба выражения \[ f(x)=\dfrac{3}{\sin^2x}-2\sqrt{3}\operatorname{ctg}x\quad\text{и}\quad g(x)=\dfrac{2x-3}{\sqrt{9+8x-x^2}}+\dfrac{\sqrt{9+8x-x^2}}{2x-3} \] определены, причём значение меньшего из выражений не превосходит двух (если два числа равны, то меньшим считается любое из них).
Ответ:
Решение:
Найдите все значения переменной $x$, при каждом из которых оба выражения \[ f(x)=\operatorname{tg}^2\left(\dfrac{\pi\sin x}{2\sqrt{2}}\right)+\operatorname{ctg}^2\left(\dfrac{\pi\sin x}{2\sqrt{2}}\right)\quad\text{и}\quad g(x)=\dfrac{\sqrt{24+5x-x^2}+2x-8}{x-4} \] определены, причём значение меньшего из выражений не превосходит двух (если два числа равны, то меньшим считается любое из них).
Ответ:
Решение:
На ребре $CC_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ выбрана точка $M$ так, что центр сферы, описанной около пирамиды $MAA_1B_1B$, лежит в грани $AA_1B_1B$. Известно, что радиус сферы, описанной около пирамиды $MABC$, равен $5$, а ребро основания призмы равно $4\sqrt{3}$. Найдите:
а) отношение объёма пирамиды $MAA_1B_1B$ к объёму призмы;
б) длину отрезка $MC$;
в) площадь полной поверхности призмы.
а) отношение объёма пирамиды $MAA_1B_1B$ к объёму призмы;
б) длину отрезка $MC$;
в) площадь полной поверхности призмы.
Ответ:
Решение:
На ребре $BB_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ взята точка $T$ такая, что $BT:B_1T=2:5$. Точка $T$ является вершиной прямого кругового конуса, такого, что три вершины призмы принадлежат окружности его основания.
а) Найдите отношение высоты призмы к ребру её основания.
б) Пусть дополнительно известно, что $CC_1=7$. Найдите объём конуса.
а) Найдите отношение высоты призмы к ребру её основания.
б) Пусть дополнительно известно, что $CC_1=7$. Найдите объём конуса.
Ответ:
Решение:
На ребре $SA$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с вершиной $S$ отмечена точка $K$ такая, что $AK:KS=1:4$. Точка $K$ является вершиной прямого кругового конуса, на окружности основания которого лежат три вершины пирамиды $SABCD$.
а) Найдите отношение $DS:BC$.
б) Пусть дополнительно известно, что высота пирамиды $SABCD$ равна $5$. Найдите объём конуса.
а) Найдите отношение $DS:BC$.
б) Пусть дополнительно известно, что высота пирамиды $SABCD$ равна $5$. Найдите объём конуса.
Ответ:
Решение:
Даны правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ и конус, вершина которого лежит в точке $A$, а окружность основания проходит через точки $B_1$ и $C_1$. Известно, что точки $B$ и $C$ лежат на боковой поверхности конуса. Найдите угол между образующей конуса и его высотой, если $AB=1$, $AB_1=5$. В ответ запишите квадрат тангенса найденного угла.
Ответ:
Решение:
Рассмотрим всевозможные тетраэдры $ABCD$, в которых $AB=2$, $AC=CB=5$, $AD=DB=6$. Каждый такой тетраэдр впишем в цилиндр так, чтобы все вершины оказались на его боковой поверхности, причём ребро $CD$ было параллельно оси цилиндра. Выберем тетраэдр, для которого радиус цилиндра — наименьший из полученных. Какие значения может принимать длина $CD$ в таком тетраэдре?
Ответ:
Решение:
Внутри прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ расположены два шара $\omega_1$ и $\omega_2$, касающиеся друг друга внешним образом; кроме того, шар $\omega_1$ касается граней $ABCD$, $ABB_1A_1$, $ADD_1A_1$, а шар $\omega_2$ касается граней $A_1B_1C_1D_1$, $BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$. Известно, что $AB=6-\sqrt{2}$, $A_1D_1=6+\sqrt{2}$, $CC_1=6$. Найти расстояние между центрами шаров $\omega_1$ и $\omega_2$. Найти наибольший и наименьший суммарный объём шаров.
Ответ:
Решение:
Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ и прямой круговой цилиндр $Z$ высоты $17$, основания которого ограничивают окружности $\omega_1$ и $\omega_2$. Известно, что вершины $A$ и $B$ лежат на окружности $\omega_1$, вершины $C$ и $D$ — на окружности $\omega_2$, а вершина $S$ — на боковой поверхности цилиндра $Z$ и удалена от плоскости окружности $\omega_2$ на расстояние $10$. Найдите квадрат радиуса цилиндра.
Ответ:
Решение: