Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 198
При каком наибольшем значении параметра $a$ коэффициент при $x^4$ в разложении многочлена $\left(1-2x+ax^2\right)^8$ будет равен $-1540$?
Ответ:
Решение:
Решите в действительных числах систему уравнений:\[\begin{cases}a+c=4;\\ac+b+d=6;\\ad+bc=5;\\bd=2.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Пусть $f(x)=\dfrac{x}{3}+2$. Найдите значение функции \[ \underbrace{f(\ldots f(f}_{2009}(x))\ldots) \] в точке $x=4$.
Ответ:
Решение:
Точка $R_1$ — середина отрезка $ST$; точка $R_2$ — середина отрезка $SR_1$; для каждого $n\geqslant 3$ точка $R_n$ — середина отрезка $R_{n-2}R_{n-1}$. Пусть $R$ — предельное положение точки $R_n$ при $n\to\infty$. Найдите длину отрезка $RT$, если длина отрезка $ST$ равна $15$.
Ответ:
Решение:
Последовательность $(a_n)$ удовлетворяет условиям\[a_0=0,\quad a_1\neq 0,\quad a_{n+1}-a_n=\sqrt{a_n+a_{n+1}}\quad\text{при всех } n\geqslant 0.\]Какие значения может принимать $a_{2024}$?
Ответ:
Решение:
Представьте в виде несократимой дроби: \[ \frac{12+15}{18}+\frac{21+24}{27}+\ldots+\frac{48+51}{54}. \]
Ответ:
Решение:
Найдите сумму: \[ \frac{\sin\frac{\pi}{3}}{2}+\frac{\sin\frac{2\pi}{3}}{2^2}+\frac{\sin\frac{3\pi}{3}}{2^3}+\ldots+\frac{\sin\frac{2010\pi}{3}}{2^{2010}}. \]
Ответ:
Решение:
Пусть \[ S_n=f(0)+f\left(\frac1n\right)+f\left(\frac2n\right)+\ldots+f\left(\frac{n-1}{n}\right)+f(1). \] Найдите $S_{2013}$ для $f(x)=\dfrac{9^x}{9^x+3}$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Вычислите\[\operatorname{tg}\frac{\pi}{43}\cdot\operatorname{tg}\frac{2\pi}{43}+\operatorname{tg}\frac{2\pi}{43}\cdot\operatorname{tg}\frac{3\pi}{43}+\ldots+\operatorname{tg}\frac{k\pi}{43}\cdot\operatorname{tg}\frac{(k+1)\pi}{43}+\ldots+\operatorname{tg}\frac{2019\pi}{43}\cdot\operatorname{tg}\frac{2020\pi}{43}.\]
Ответ:
Решение:
Дана последовательность $a_k=\dfrac{1}{k^2+k}$, $k\in\mathbb{N}$. Известно, что\[a_p+a_{p+1}+\ldots+a_{q-1}=\frac{1}{43}\]для некоторых натуральных $p$ и $q$ ($p\lt q$). Найдите $p+q$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с рёбрами $AB=3$, $AD=4$ и $AA_1=5$ проведены два сечения — плоскостью, проходящей через диагональ $A_1C$, и плоскостью, проходящей через диагональ $B_1D$. Найдите наибольшее возможное значение суммы площадей поверхностей многогранников, на которые эти сечения разбивают данный параллелепипед.
Ответ:
Решение:
На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы которого прямые. Саша утверждает, что кратчайший путь по поверхности этого многогранника от вершины $X$ до вершины $Y$ имеет длину $4$. Прав ли он?
Ответ:
Решение:
Назовём горой усечённый прямой круговой конус с длиной окружности нижнего основания $8$, а верхнего основания — $6$. Склон горы наклонён под углом $60^\circ$ к плоскости основания. На окружности нижнего основания лежит точка $A$. Турист начинает подъём по склону из точки $A$ к ближайшей точке верхнего основания, а затем продолжает свой путь по краю верхнего основания, и проходит расстояние $2$. После этого он возвращается в точку $A$ кратчайшим маршрутом. Чему равна длина обратного пути?
Ответ:
Решение:
Гора имеет форму конуса с вершиной в точке $C$. Точка $O$ — центр основания, точка $A$ лежит на основании конуса, а точка $B$ — на отрезке $CA$, причем $CA=60$, $AB=10$, $OA=20$. Железная дорога проложена по кратчайшему пути вокруг горы из точки $A$ в точку $B$. Точка $H$ — ближайшая к вершине горы из всех точек железной дороги. Найдите длину пути $BH$.
Ответ:
Решение:
Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ служит треугольник $ABC$, в котором $\angle ACB=90^\circ$, $AC=3$ см, $CB=4$ см. Высота призмы равна $12$ см. Точка $K$ лежит на отрезке $AC_1$, причём $AK=\dfrac{AC_1}{3}$. Муравей начал движение из точки $K$ и движется со скоростью $1$ см/с по поверхности призмы. За какое наименьшее время в секундах муравей может достигнуть точки $B_1$?
Ответ:
Решение:
Ученикам 11 «А» класса на выбор предложили пройти тестирование ровно по одному из предметов: химии, информатике или физике. Трое ребят приняли участие в тестировании по химии; более $40\%$, но менее половины учеников проходили тестирование по информатике и ровно треть — по физике. Сколько ребят участвовало в тестировании по информатике, если в классе присутствовали более $12$ учеников?
Ответ:
Решение:
В диване живут клопы и блохи. Боря лежит на диване и рассуждает: если клопов станет в несколько раз больше, то всего насекомых будет $2012$, а если блох станет во столько же раз больше, а число клопов не изменится, то всего насекомых будет $2011$. Сколько же насекомых живёт в диване сейчас?
Ответ:
Решение:
Одна тетрадь, $3$ блокнота и $2$ ручки стоят $98$ рублей, а $3$ тетради и блокнот — на $36$ рублей дешевле $5$ ручек. Сколько стоит каждый из предметов, если тетрадь стоит чётное число рублей? (Каждый из этих предметов стоит целое число рублей.)
Ответ:
Решение:
Вася и Маша поженились в 1994 году. С тех пор у них родились четверо детей, и новый 2015 год встречали уже все шестеро. По странному совпадению все дети родились 6 февраля, а сегодня, 7 февраля 2016 года, Вася заметил, что возраст старшего равен произведению возрастов трёх младших. Докажите, что в этой семье есть близнецы.
Ответ:
Решение: