Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
За круглый стол сели 138 мудрецов. Часть из них в синих колпаках, остальные — в красных. Известно, что среди любых пяти мудрецов, сидящих подряд, найдутся по крайней мере двое в красных колпаках. Какое наименьшее количество мудрецов может быть в красных колпаках?
Ответ:
Решение:
За круглый стол сели $50$ мудрецов. Каждый из них взял карточку и записал на ней целое ненулевое число. Оказалось, что у каждого мудреца число на карточке больше произведения чисел на карточках двух ближайших мудрецов, сидящих справа от него. Какое наибольшее количество положительных чисел может быть выписано на карточках мудрецов?
Ответ:
Решение:
Маша пишет в ряд крестики и нолики — всего $1000$ символов. Оказалось, что количество символов между любыми двумя ноликами отлично от $12$. Какое наибольшее количество ноликов могла написать Маша?
Ответ:
Решение:
Вася записал в тетрадь $40$ ненулевых чисел (среди которых могут быть равные), а затем дописал к ним ещё $40$ чисел, вычтя из квадрата каждого исходного числа сумму остальных исходных чисел. Какое наибольшее число отрицательных чисел среди всех $80$ выписанных чисел могло получиться у Васи?
Ответ:
Решение:
В турнире участвовали $89$ теннисистов. Все игры проходили на одном корте. Спортсмен, проигравший хотя бы одну игру, выбывает из турнира. Известно, что у участников каждой встречи количество предыдущих побед отличалось не более чем на одну. Какое наибольшее число игр мог сыграть победитель турнира?
Ответ:
Решение:
В клубе собрались 13 путешественников. Когда зашёл разговор о стране $N$, оказалось, что вместе любые 6 путешественников побывали во всех городах страны $N$ (то есть каждый город посетил хоть один из этих 6 путешественников), а любые 5 — нет (то есть найдётся город, в котором не был ни один из этих 5 путешественников). При каком минимальном количестве городов в стране $N$ это могло быть?
Ответ:
Решение:
На столе лежит 129 внешне одинаковых монет. Известно, что среди них ровно 65 фальшивых. Разрешается указать на любые две монеты и спросить, верно ли, что обе эти монеты фальшивые. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно получить по крайней мере один ответ «Верно»?
Ответ:
Решение:
На столе лежит 150 внешне одинаковых монет. Известно, что среди них ровно 75 фальшивых. Разрешается указать на любые две монеты и спросить, верно ли, что обе эти монеты фальшивые. За какое наименьшее количество вопросов можно гарантированно получить по крайней мере один ответ «Верно»?
Ответ:
Решение:
За круглый стол сели $90$ мудрецов. Каждый из них взял карточку и записал на ней целое ненулевое число. Оказалось, что у каждого мудреца число на карточке больше произведения чисел на карточках трёх ближайших мудрецов, сидящих справа от него. Какое наибольшее количество положительных чисел может быть выписано на карточках мудрецов?
Ответ:
Решение:
За круглый стол сели 95 мудрецов. Каждый из них взял карточку и записал на ней целое ненулевое число. Оказалось, что у каждого мудреца число на карточке больше произведения чисел на карточках двух ближайших мудрецов, сидящих справа от него. Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть выписано на карточках мудрецов?
Ответ:
Решение:
Каждый из 11 учеников записал к себе в тетрадь какие-то натуральные числа, не превосходящие $N$. Оказалось, что если взять любых 6 учеников, то в их тетрадях можно найти любое натуральное число, не превосходящее $N$, а если взять любых 5 учеников — нет (то есть найдется число, которого нет ни в одной тетради этих 5 учеников). При каком наименьшем $N$ такое может быть?
Ответ:
Решение:
Имеется $2600$ наборов по $50$ карточек. На каждой карточке написано натуральное число, причём в каждом наборе все числа, написанные на карточках, различны. Оказалось, что какие бы два набора ни взять, на $100$ карточках этих наборов будет написано ровно $99$ различных натуральных чисел. Какое наименьшее количество различных натуральных чисел может быть написано на всех карточках этих $2600$ наборов?
Ответ:
Решение:
На острове расположено несколько деревень. Между некоторыми деревнями проложены дороги. Известно, что из любой деревни в любую другую можно добраться, причём по единственному маршруту. Также известно, что есть четыре деревни, из которых выходят $5$, $6$, $7$ и $9$ дорог соответственно, а из остальных деревень выходит ровно по одной дороге. Сколько деревень может быть на острове?
Ответ:
Решение:
В караване $17$ верблюдов. В понедельник каждый верблюд плюнул ровно в $N$ других верблюдов. При каком наименьшем $N$ можно гарантировать, что нашлись два верблюда, которые плюнули друг в друга?
Ответ:
Решение:
В некотором государстве $35$ городов. Каждая пара городов соединена авиарейсом одной из двух авиакомпаний. Оказалось, что из каждого города выходит ровно $12$ авиарейсов первой авиакомпании. Назовём тройку городов $A$, $B$, $C$ замкнутой, если все три авиарейса $AB$, $BC$, $CA$ осуществляются одной авиакомпанией. Каково наибольшее возможное количество замкнутых троек городов может быть в этом государстве?
Ответ:
Решение:
Каждый из участников школьного кружка, кроме Андрея, дружит с разным числом других участников. Андрей дружит с $9$ из них. Каково наибольшее возможное число школьников в кружке?
Ответ:
Решение:
В Городском Собрании $24$ депутата. Любые двое из них либо дружат, либо враждуют, причём известно, что каждый дружит ровно с $7$ другими. Каждые три депутата образуют комиссию. Найдите общее число комиссий, в которых все три члена попарно дружат или все трое попарно враждуют.
Ответ:
Решение:
В некотором государстве 40 городов. Каждая пара городов соединена авиарейсом одной из двух авиакомпаний. Оказалось, что из каждого города выходит ровно 6 авиарейсов первой авиакомпании. Назовем тройку городов $A$, $B$, $C$ замкнутой, если все три авиарейса $AB$, $BC$, $CA$ осуществляются одной авиакомпанией. Каково наибольшее возможное количество замкнутых троек городов может быть в этом государстве?
Ответ:
Решение:
В футбольном турнире, проходящем в один круг (каждая команда должна сыграть с каждой ровно по одному разу), играют $N$ команд. В некоторый момент турнира тренер команды $A$ заметил, что любые две команды, отличные от $A$, сыграли разное количество игр. Также известно, что к этому моменту команда $A$ сыграла 15 игр. Какое количество $N$ команд могло участвовать в этом турнире? В ответ запишите сумму всех возможных значений $N$.
Ответ:
Решение:
В королевстве 29 городов. Некоторые из них соединены прямыми авиарейсами. Известно, что если между городами $A$ и $B$ есть прямой авиарейс, и между городами $B$ и $C$ есть прямой авиарейс, то между городами $A$ и $C$ нет прямого авиарейса. Какое наибольшее количество прямых авиарейсов может быть в королевстве?
Ответ:
Решение: