Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 20
· весь вариант по порядку
Дан выпуклый $15$-угольник, никакие три диагонали которого не имеют общих точек, отличных от вершин. Найдите число точек пересечения диагоналей (не считая вершин).
Ответ:
Решение:
Отметили все вершины правильного $12$-угольника. Сколько существует незамкнутых несамопересекающихся семизвенных ломаных с вершинами в отмеченных точках?
Ответ:
Решение:
Сколько существует делящихся на $9$ одиннадцатизначных натуральных чисел, в записи которых участвуют только цифры $0$ и $8$?
Ответ:
Решение:
У Васи есть семь книг по математике, а у Вани — девять. Все $16$ книг разные. Сколькими способами они смогут обменяться тремя книгами (то есть дать три книги в обмен на три книги)?
Ответ:
Решение:
На плоскости нарисован круг и три семейства прямых: в одном $19$ параллельных между собой прямых, в другом $23$ параллельных между собой прямых, в третьем $36$ параллельных между собой прямых. На какое наибольшее число частей прямые могут разбить круг?
Ответ:
Решение:
В мешке $90$ шаров, отличающихся только цветом: $25$ красных, $25$ синих, $25$ жёлтых и $15$ зелёных. Какое наименьшее число шаров надо вынуть из мешка, не видя их, чтобы среди них было не менее $15$ шаров одного цвета?
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее значение может быть у наибольшего общего делителя чисел $11n+6$ и $23n+5$, если $n$ — натуральное число?
Ответ:
Решение:
Натуральное число имеет ровно два простых делителя. Его квадрат имеет $51$ различных натуральных делителей. Какое наибольшее количество различных натуральных делителей может иметь куб этого числа?
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$ к боковой стороне. Найдите квадрат радиуса окружности, описанной около треугольника $ABC$, если радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABM$ и $AMC$, равны соответственно $33$ и $11$.
Ответ:
Решение:
Какая наибольшая площадь может быть у треугольника, если длины двух его медиан равны $12$ и $17$, а угол между ними равен $150^\circ$?
Ответ:
Решение:
Трапеция $ABCD$ с основаниями $BC=6$ и $AD=7$ вписана в окружность. Продолжение средней линии $MN$ трапеции за точку $M$ пересекает окружность в точке $K$. Найдите квадрат высоты трапеции, если $MK=1$.
Ответ:
Решение:
На доску выписаны числа $a_1, a_2, \ldots, a_{200}$. Известно, что $a_1=3$, $a_2=9$. Найдите $a_{200}$, если для любого натурального $n$ справедливо равенство $a_{n+2}=a_{n+1}-a_n$.
Ответ:
Решение:
Из начала координат проведено $240$ лучей, которые делят координатную плоскость на углы в $1{,}5^\circ$. Известно, что четыре из них совпадают с координатными полуосями. Найдите сумму абсцисс точек пересечения этих лучей с прямой $y=30-x$.
Ответ:
Решение:
Сколько одинаковых членов находится среди первых $2000$ членов арифметических прогрессий $9, 11, 13, \ldots$ и $3, 8, 13, \ldots$?
Ответ:
Решение:
При каком значении параметра $a$ значение выражения $x_1^2+x_2^2$ будет наименьшим, если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2+4ax+4a-3=0$?
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее значение может принимать знаменатель геометрической прогрессии $b_1, b_2, \ldots$, если число $5$ является корнем уравнения $b_{10}x^9+\ldots+b_3x^2+b_2x+b_1=0$?
Ответ:
Решение:
Длины сторон треугольника $ABC$ равны $13$, $22$ и $27$. $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ — его медианы, а $AA_2$, $BB_2$ и $CC_2$ — его высоты. Найдите длину замкнутой ломаной $A_1B_2C_1A_2B_1C_2A_1$.
Ответ:
Решение:
Предприниматель Петров купил в Ростове несколько мешков картошки и продал их в Москве, получив на $90000$ рублей больше, чем потратил. На все вырученные деньги он снова купил в Ростове картошку и продал в Москве. На этот раз прибыль составила $120000$ рублей. Сколько денег он потратил на первую покупку, если цены закупки и продажи мешка картошки не изменились?
Ответ:
Решение:
Через сколько секунд после того, как часы показывали $7$ часов, минутная стрелка догонит часовую? Ответ округлите до целого числа.
Ответ:
Решение:
В парке росли дубы и клёны. Клёнов среди них было $80\%$. Весной в парке посадили ещё дубов, после чего клёнов стало $40\%$. А осенью посадили ещё клёнов, и клёнов стало снова $80\%$. Во сколько раз увеличилось количество деревьев в парке за год?
Ответ:
Решение: