Поиск задач

На остановке около дома Рассеянного Учёного останавливаются автобусы двух маршрутов: № 152 и № 251. Оба они идут к станции метро. Интервал между автобусами № 152 ровно 5 минут, а интервал между автобусами 251-го маршрута ровно 7 минут. Интервалы строго соблюдаются, но между собой эти два маршрута не согласованы и их расписания не зависят друг от друга. В совершенно случайный момент времени Рассеянный Учёный приходит на остановку и садится в первый же подошедший автобус, чтобы доехать до метро. Какова вероятность того, что Учёный сядет в автобус № 251?

Вдоль южного берега бескрайнего моря цепочкой раскинулся архипелаг из бесконечного количества островов. Острова соединены бесконечной цепочкой мостов, и каждый остров соединён мостом с берегом. В случае сильного землетрясения каждый мост независимо от других с вероятностью $p=0{,}5$ разрушается. Какова вероятность того, что после сильного землетрясения с первого острова можно будет перебраться по сохранившимся мостам на берег?

На три случайных поля шахматной доски поставили три ладьи. Найдите математическое ожидание числа полей на доске, которые находятся под боем хотя бы одной ладьи. Считается, что если ладья стоит на каком-то поле, то она сама это поле не бьёт, но другая ладья может его бить.

Непрерывная случайная величина $X$ имеет функцию плотности $y=f(x)$, которая равна нулю при $x\lt a$ и при $x\geqslant b$, а на промежутке $[a;b)$ непрерывна, положительна и монотонно убывает. Докажите, что математическое ожидание случайной величины $X$ больше, чем её медиана.
Медианой случайной величины $X$ называется такое число $m$, что $\mathrm{P}(X\leqslant m)\geqslant 0{,}5$ и $\mathrm{P}(X\geqslant m)\geqslant 0{,}5$. Если случайная величина имеет конечную функцию плотности $y=f(x)$, то прямая $x=m$ делит фигуру, ограниченную осью абсцисс и графиком плотности, на две фигуры, площадь каждой из которых равна 0,5.

Работа Рассеянного Учёного связана с длительными командировками, и поэтому он часто летает самолётами одной и той же авиакомпании. У этой авиакомпании много одинаковых самолётов, и все они имеют имена. Поскольку Учёный летает не каждый день и даже не каждую неделю, можно считать, что всякий раз ему «достаётся» случайный самолёт. Из любопытства и по привычке Рассеянный Учёный каждый раз записывает, на каком самолёте он летит. В своём пятнадцатом полёте Учёный оказался на борту самолёта, гордо носящего имя «Симеон Дени Пуассон». После взлёта Учёный достал свою книжечку, чтобы записать имя самолёта, и обнаружил, что на «Пуассоне» он уже один раз летел, а прежде повторений не было. Оцените количество самолётов в авиакомпании.

В мебельный магазин завезли партию офисных кресел. Кресла были одинаковые во всём, кроме цветов: 15 кресел были чёрными и 18 — коричневыми. Кресла пользовались спросом и раскупались в случайном порядке. В какой-то момент покупатель на сайте магазина обнаружил, что в продаже осталось только два кресла. Какова вероятность того, что эти два кресла одного цвета?

Двое играют в «пасхальный бой яиц». Перед ними большая корзина с яйцами. Они наугад берут по яйцу и ударяют их друг о друга. Одно из яиц разбивается, побеждённый берёт новое яйцо, а победитель сохраняет своё яйцо для следующего раунда (исход каждого раунда зависит только от того, у какого яйца скорлупа прочнее; победившее яйцо сохраняет свою прочность). Известно, что первый игрок победил в первых десяти раундах. Какова вероятность того, что он же победит и в следующем раунде?

Случайным образом в шеренгу становятся 20 воспитанников детского сада, из них 11 девочек и 9 мальчиков. Найдите вероятность того, что между первым и последним мальчиками окажется не больше пяти девочек.

Для представления целых чисел или десятичных дробей часто используется специальный вид диаграмм «стебель-листья». На таких диаграммах удобно изображать возраст людей. Предположим, что в изучаемой группе 5 человек, которым 19, 34, 37, 42 и 48 лет. Для этой группы диаграмма будет выглядеть, как показано на рис. 2. Левый столбец — «стебель», а вправо от него идут «листья».

Рис. 2
Изучая некоторую группу пациентов, 1 декабря врач составил диаграмму их возрастов (рис. 3 а). На рис. 3 б) показана новая диаграмма их возрастов, которая была составлена также 1 декабря по прошествии нескольких лет. За эти годы состав группы остался прежним — в ней остались все, кто был, и никто новый в эту группу не вошёл. Но цифр на новой диаграмме не видно — вместо них звёздочки. Определите, сколько лет прошло, и восстановите диаграмму.

Английское название — Stem-and-Leaf plot.

В числовом наборе медиана равна 3, среднее арифметическое равно 5, а единственная мода набора равна 6. Какое наименьшее количество чисел может быть в наборе, обладающем указанными свойствами?
Модой называется число, которое встречается в наборе больше раз, чем любое другое.

Пусть даны два числовых набора: $X=\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$ и $Y=\{y_1,y_2,\ldots,y_m\}$. В первом $n$ чисел, во втором — $m$ чисел. Прямой суммой или просто суммой $X\oplus Y$ этих наборов назовём набор, состоящий из всевозможных сумм $x_k+y_j$. Всего в наборе $X\oplus Y$ ровно $mn$ чисел. Сумму наборов удобно представить таблицей. На рис. 4 показана сумма наборов $X=\{1,\ 2,\ 3\}$ и $Y=\{0,\ 4,\ 5\}$. Если записать эту сумму в строчку и заодно упорядочить по возрастанию, получится $$X\oplus Y=\{1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 6,\ 6,\ 7,\ 7,\ 8\}.$$

Рис. 4
Рассмотрим медианы данных наборов и медиану их суммы. Медиана первого набора $M_X=2$, медиана второго равна $M_Y=4$, а медиана их суммы равна $M_{X\oplus Y}=6$ (на рисунке все три медианы выделены). Получилось равенство $M_{X\oplus Y}=M_X+M_Y$. Всегда ли медиана суммы равна сумме медиан?
а) Приведите какой-нибудь пример двух числовых наборов, у которых медиана их суммы отличается от суммы их медиан на 1.
б) Однажды Рассеянный Учёный изучал два таинственных числовых набора. Про первый набор ничего не известно вообще, а про второй известно, что его наименьшее значение равно 1, а наибольшее равно 5. Несмотря на скудость этих данных, Учёный путем сложных вычислений нашёл, что медиана суммы этих двух наборов больше суммы их медиан на 4,5. Может ли такое быть? Приведите пример таких двух наборов или докажите, что их не существует.

Случилось так, что у Рассеянного Учёного осталось только 20 рублей, а ему нужно купить билет на автобус, чтобы ехать домой. Билет стоит 45 р. Рядом с автобусной остановкой продаются билеты моментальной лотереи как раз по 10 р. за штуку. С вероятностью $p=0{,}1$ билет содержит выигрыш 30 р., а других выигрышей нет. Учёный решил рискнуть, поскольку терять ему нечего. Найдите вероятность того, что Рассеянный Учёный сумеет выиграть достаточно денег, чтобы купить билет на автобус.

Производитель шоколадных яиц с игрушкой внутри объявил, что выпускается новая коллекция «Нильская семейка», в которой десять разных обаятельных крокодилов. Крокодилы равномерно и случайно распределены по шоколадным яйцам, то есть в случайно выбранном яйце каждый из крокодилов может оказаться с вероятностью 0,1.
Близнецы Лёша и Гоша захотели собрать две коллекции — по одной на брата. Каждый день мама покупает им по одному яйцу. Наступил момент, когда первая коллекция была, наконец, собрана.
Обозначим $p_k$ вероятность того, что к моменту завершения первой коллекции во второй коллекции недостаёт ровно $k$ крокодилов.
а) Докажите, что $p_1=p_2$.
б) Докажите, что: $p_2\gt p_3\gt p_4\gt \ldots\gt p_{10}$.

Имитировать случайные процессы человеку трудно. Даже серию бросаний монеты придумать «из головы» почти невозможно. Одна из причин в том, что в длинной серии человек подсознательно старается не допустить «слишком много» орлов или решек подряд. В действительно случайной серии, как правило, встречаются довольно длинные группы, состоящие только из орлов или только из решек. Например, при 100 бросаниях монеты, скорее всего (с вероятностью около 0,54), встретятся 7 орлов или 7 решек подряд, а математическое ожидание наибольшей длины такой группы равно приблизительно 6,98.
Если монета $k$ раз подряд выпала одной и той же стороной вверх, будем называть такую подпоследовательность группой длины $k$.
Например, в последовательности ОРРРООРР четыре группы, длины которых равны 1, 3, 2 и 2.
Обозначим $p_{n,k}$ вероятность того, что в серии из $n$ бросаний симметричной монеты содержится группа длины $k$ или больше ($k\lt n$). Выведите рекуррентную формулу $$p_{n,k}=p_{n-1,k}-\frac{1}{2^k}\,p_{n-k,k}+\frac{1}{2^k}.$$

У Билли Бонса есть две монеты — золотая и серебряная. Одна из них симметричная, а другая — нет. Неизвестно, какая именно монета несимметрична, но известно, что несимметричная монета выпадает орлом с вероятностью $p=0{,}6$.
Билли Бонс бросил золотую монету, и сразу выпал орёл. Тогда Билли Бонс стал бросать серебряную монету, и орёл выпал только со второго броска. Найдите вероятность того, что несимметричной является золотая монета.

Тридцать шесть игроков играют в игру: из колоды, в которой 36 игральных карт, игроки по очереди выбирают по случайной карте. Если игроку попался туз бубен, то игрок выиграл; если же попалась другая карта, игрок возвращает её в колоду, и случайную карту тянет следующий игрок. Так они тянут карты по кругу: сначала первый, затем второй и т.д. Если на первом круге никому не попался туз бубен, игроки в том же порядке тянут карты по второму кругу. Это продолжается до тех пор, пока кто-то из них не вытянет туза бубен.
а) Честная ли это игра, то есть равны ли у игроков вероятности выигрыша?
б) Найдите хотя бы приближённо вероятность выигрыша первого игрока.