Всероссийская олимпиада школьников по математике

Первоклассник составил из шести палочек два треугольника. Затем он разобрал треугольники обратно и разбил шесть палочек на две группы по три палочки: в первой группе оказались три самых длинных палочки, а во второй — три самых коротких. Обязательно ли можно составить треугольник из трех палочек первой группы? А из трех палочек второй группы?

Ненулевые числа $x$ и $y$ удовлетворяют неравенствам $x^4-y^4\gt x$ и $y^4-x^4\gt y$. Может ли произведение $xy$ равняться отрицательному числу?

Пусть $S$ — множество, состоящее из натуральных чисел. Оказалось, что для любого числа $a$ из множества $S$ существуют два числа $b$ и $c$ из множества $S$ такие, что $a=\dfrac{b(3c-5)}{15}$. Докажите, что множество $S$ бесконечно.

Вписанная окружность касается сторон $AB$, $BC$ и $CA$ неравнобедренного треугольника $ABC$ в точках $C_1$, $A_1$ и $B_1$ соответственно. Пусть $m$ — средняя линия треугольника $A_1B_1C_1$, параллельная стороне $B_1C_1$. Биссектриса угла $B_1A_1C_1$ пересекает $m$ в точке $K$. Докажите, что описанная окружность треугольника $BCK$ касается $m$.

Петя и Вася играют на доске $100\times100$. Изначально все клетки доски белые. Каждым своим ходом Петя красит в чёрный цвет одну или несколько белых клеток, стоящих подряд по диагонали. Каждым своим ходом Вася красит в чёрный цвет одну или несколько белых клеток, стоящих подряд по вертикали. (На рисунке справа показаны возможные первые ходы Пети и Васи на доске $4\times4$.) Первый ход делает Петя. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

На доску выписали три натуральных числа: два десятизначных числа $a$ и $b$, а также их сумму $a+b$. Какое наибольшее количество нечетных цифр могло быть выписано на доске?

Вася записал в клетки таблицы $9\times9$ натуральные числа от 1 до 81 (в каждой клетке стоит по числу, все числа различны). Оказалось, что любые два числа, отличающихся на 3, стоят в соседних по стороне клетках. Верно ли, что обязательно найдутся две угловых клетки, разность чисел в которых делится на 6?

Точка $M$ — середина основания $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$. На продолжении отрезков $AC$ и $BC$ за точку $C$ отмечены точки $D$ и $K$ соответственно так, что $BC=CD$ и $CM=CK$. Докажите, что окружности, описанные около треугольников $ABD$ и $MCK$, касаются.

Фокусник с помощником собираются показать следующий фокус. У них есть $n\geqslant3$ карточек с номерами $1, 2, \ldots, n$, и ряд из $n$ клеток размером в карточку. Оборотные стороны всех карточек неразличимы. Зритель выкладывает на некоторые два места карточки 1 и 2; помощник фокусника, видя это, выкладывает на свободные места остальные карточки. Затем все карточки переворачиваются числами вниз, и входит фокусник. Он переворачивает одну из карточек, а затем зритель переворачивает другую. После этого фокусник должен правильно указать карточку 1 и правильно указать карточку 2. При каких $n$ фокусник и помощник смогут договориться так, чтобы гарантированно фокус удался?

Витя записал в тетрадь $n$ различных натуральных чисел. Для каждой пары чисел из тетради он выписал на доску их наименьшее общее кратное. Могло ли при каком-то $n\gt 100$ случиться так, что $\dfrac{n(n-1)}{2}$ чисел на доске являются (в некотором порядке) последовательными членами непостоянной арифметической прогрессии?