Всероссийская олимпиада школьников по математике

Даны 6 последовательных натуральных чисел. Докажите, что их можно обозначить (в некотором порядке) буквами $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ так, чтобы число $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{d}{e+f}$ было натуральным.

У Даши и Саши есть по доске $9\times9$. Даша укладывает на свою доску 40 не перекрывающихся плиток $1\times2$ (так, что плитки занимают 80 клеток, а одна клетка остается не покрытой). Пусть у неё есть $D$ способов сделать это. Саша красит на своей доске 41 единичных отрезков-границ между соседними клетками, так, чтобы для каждой клетки доски хотя бы одна её сторона была покрашена. Пусть у Саши $S$ способов сделать это. Докажите, что $S\leqslant 2D$.

Периметр выпуклого пятиугольника $ABCDE$ равен 2. Пусть $O_a$, $O_b$, $O_c$, $O_d$, $O_e$ — центры описанных окружностей треугольников $EAB$, $ABC$, $BCD$, $CDE$, $DEA$ соответственно. Пусть $M_a$, $M_b$, $M_c$, $M_d$, $M_e$ — середины отрезков $AO_a$, $BO_b$, $CO_c$, $DO_d$, $EO_e$ соответственно. Докажите, что \[ M_aM_b+M_bM_c+M_cM_d+M_dM_e+M_eM_a\geqslant 1. \]

Существует ли такое натуральное число $n$, что для каких-то трёх его делителей $a, b, c$, больших 1, произведение $(a-1)(b-1)(c-1)$ делится на $n^2$?

В Средиземье 1000 графств, в одном из которых находится волшебное Кольцо. Раз в день Маг может выбрать любое подмножество графств, и получить от волшебного Камня ответ, есть ли Кольцо в одном из этих графств. Камень может ошибиться, но никогда не ошибается два дня подряд. Маг может совершать данное действие некоторое количество дней, после чего он должен отправить гонцов в некоторые $k$ графств, в одном из которых наверняка находится Кольцо. При каком наименьшем $k$ Маг может это сделать?

На окружности отмечено 16 точек, которые делят окружность на 16 равных дуг. Петя расставил в этих точках (в некотором порядке) 16 последовательных натуральных чисел. Далее для каждой пары диаметрально противоположных точек Петя вычислил сумму чисел в этих точках. Могло ли оказаться, что полученные 8 сумм представляют собой 8 последовательных натуральных чисел?

На координатной плоскости проведена прямая $ax+by+c=0$, где $a$, $b$, $c$ — некоторые положительные числа. Известно, что эта прямая касается окружности $x^2+y^2=1$. Докажите, что если взять три отрезка с длинами $a$, $b$, $c$, то из них можно сложить прямоугольный треугольник.

В конференции участвуют 2026 математиков, у каждого из которых есть некоторое количество друзей (возможно, ни одного) среди остальных. Дружба взаимна. Известно, что выполняется условие: если двое математиков дружат, то количества друзей у них отличаются ровно на 1. Найдите наибольшее возможное количество пар друзей.

Дан остроугольный неравнобедренный треугольник $ABC$, в котором $\angle BAC=60^\circ$. Точки $D$ и $E$ симметричны его центру описанной окружности $O$ относительно сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Прямая $DE$ пересекает отрезки $AB$ и $AC$ в точках $F$ и $G$ соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников $BDF$ и $CEG$ касаются.

Дан многочлен $f$ третьей степени с целыми коэффициентами, причём старший коэффициент $f$ равен 1 или $-1$. Известно, что $f$ имеет три различных корня, каждый из которых равен квадрату натурального числа. Докажите, что в последовательности значений $|f(1)|$, $|f(2)|$, $|f(3)|$ и т. д. встретится квадрат натурального числа.