Всероссийская олимпиада школьников по математике

На плоскости отмечены 5 точек. Докажите, что можно выбрать некоторые из них и переместить их так, чтобы расстояние между любыми двумя перемещёнными точками не изменилось, а в результате на плоскости осталось множество из 5 точек, симметричное относительно некоторой прямой.

При каком наименьшем натуральном $n$ существуют такие целые $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$, что квадратный трёхчлен \[ x^2-2(a_1+a_2+\ldots+a_n)^2x+\left(a_1^4+a_2^4+\ldots+a_n^4+1\right) \] имеет по крайней мере один целый корень?

Окружность $\Omega$ с центром в точке $O$ описана около остроугольного треугольника $ABC$, в котором $AB\lt BC$; его высоты пересекаются в точке $H$. На продолжении отрезка $BO$ за точку $O$ отмечена точка $D$ такая, что $\angle ADC=\angle ABC$. Прямая, проходящая через точку $H$ параллельно прямой $BO$, пересекает меньшую дугу $AC$ окружности $\Omega$ в точке $E$. Докажите, что $BH=DE$.

В лагерь приехали 10000 детей, каждый дружит ровно с 11 другими детьми в лагере (дружба взаимна). Каждый ребёнок носит футболку одного из семи цветов радуги, причём у любых двух друзей цвета различны. Вожатые потребовали, чтобы какие-нибудь дети (хотя бы один) надели футболки других цветов (из тех же семи). Опрос показал, что 100 детей менять цвет не намерены. Докажите, что некоторые из остальных детей всё же могут изменить цвета своих футболок так, чтобы по-прежнему у любых двух друзей цвета были различны.

В детском саду воспитательница взяла $n\gt 1$ одинаковых картонных прямоугольников и раздала их $n$ детям, каждому по прямоугольнику. Каждый ребёнок разрезал свой прямоугольник на несколько одинаковых квадратиков (квадратики у разных детей могли быть разными). Оказалось, что общее количество квадратиков — простое число. Докажите, что исходные прямоугольники были квадратами.

На стороне $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $BC$ взята точка $D$. На меньшей дуге $CD$ окружности, описанной около треугольника $BCD$, выбрана точка $K$. Луч $CK$ пересекает прямую, параллельную $BC$ и проходящую через $A$, в точке $T$. Пусть $M$ — середина отрезка $DT$. Докажите, что $\angle AKT=\angle CAM$.

Среди 16 монет есть 8 тяжёлых — весом по 11 г, и 8 лёгких — весом по 10 г, но неизвестно, какие из монет какого веса. Одна из монет — юбилейная. Как за три взвешивания на двухчашечных весах без гирь узнать, является юбилейная монета тяжёлой или лёгкой?

Даны числа $a$, $b$, $c$, не меньшие 1. Докажите, что \[ \frac{a+b+c}{4}\geqslant\frac{\sqrt{ab-1}}{b+c}+\frac{\sqrt{bc-1}}{c+a}+\frac{\sqrt{ca-1}}{a+b}. \]