Аналитическая геометрия и векторная алгебра

Даны точки $A(-6;~-1)$, $B(1;~2)$ и $C(-3;~-2)$. Найдите координаты вершины $M$ параллелограмма $ABMC$.

Дан правильный шестиугольник $ABCDEF$. Известно, что $\overline{BC}=\overline{a}$, $\overline{DC}=\overline{b}$. Найдите векторы $\overline{AE}$, $\overline{FC}$, $\overline{BF}$, $\overline{AC}$ и $\overline{MK}$, где $M$ — середина стороны $BC$, а точка $K$ расположена на стороне $EF$, причём $FK:KE=1:2$.

Дан правильный шестиугольник $ABCDEF$ с центром $O$. Известно, что $\overline{BO}=\overline{a}$, $\overline{DE}=\overline{b}$. Найдите векторы $\overline{BF}$, $\overline{DB}$, $\overline{FD}$, $\overline{AD}$ и $\overline{MK}$, где $M$ — середина стороны $BC$, а точка $K$ расположена на стороне $EF$, причём $FK:KE=1:2$.

Дан правильный шестиугольник $ABCDEF$. Известно, что $\overline{AB}=\overline{a}$, $\overline{AF}=\overline{b}$. Найдите векторы $\overline{AD}$, $\overline{BD}$, $\overline{FD}$ и $\overline{BM}$, где $M$ — середина стороны $EF$.

Пусть точки $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ — середины сторон соответственно $BC$, $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$. Докажите, что для любой точки $O$ выполняется равенство $\overline{OA_{1}}+\overline{OB_{1}}+\overline{OC_{1}}=\overline{OA}+\overline{OB}+\overline{OC}$.

Найти координаты центра окружности, описанной вокруг треугольника с вершинами в точках $A(-2;~-2)$, $B(2;~6)$, $C(7;~1)$. Написать уравнение описанной окружности.

Найти координаты центра окружности, описанной вокруг треугольника с вершинами в точках $A(-4;~-2)$, $B(4;~2)$, $C(5;~-5)$. Написать уравнение описанной окружности.

Найти координаты центра окружности, вписанной в треугольник с вершинами в точках $A(-3;~-1)$, $B(2;~9)$, $C(5;~3)$ и радиус вписанной окружности.

Найти координаты центра окружности, вписанной в треугольник с вершинами в точках $A(-4;~-3)$, $B(11;~2)$, $C(-1;~6)$ и радиус вписанной окружности.

Найти координаты точки пересечения биссектрис треугольника с вершинами в точках $A(-1;~-4)$, $B(0{,}5;~5{,}5)$, $C(-4{,}6;~2{,}8)$.

Найти координаты точки пересечения биссектрис треугольника с вершинами в точках $A(-3;~3)$, $B(2{,}6;~2{,}2)$, $C(-2{,}2;~-2{,}6)$.

Написать уравнение биссектрисы меньшего угла, образованного прямыми $x-2y+9=0$ и $2x-y-18=0$.

Написать уравнение биссектрисы тупого угла, образованного прямыми $x-4y+26=0$ и $4x-y+23=0$.

Найти координаты точки, симметричной точке $A(-5;~7)$ относительно:
а) точки $O(-4;~1)$,
б) прямой $2x-y+2=0$.

Найти координаты точки, симметричной точке $A(-5;~8)$ относительно:
а) точки $O(3;~2)$,
б) прямой $3x-y+3=0$.

Найти координаты точки, симметричной точке $A(-3;~7)$ относительно:
а) точки $O(4;~2)$,
б) прямой $x-2y+2=0$.

Найти координаты точки, симметричной точке $A(1;~8)$ относительно:
а) точки $O(-2;~1)$,
б) прямой $x-3y+3=0$.

Найти координаты точки, полученной при повороте точки $A(-2;~6)$ вокруг точки $O(2;~3)$ по часовой стрелке на угол $\alpha$, если
а) $\alpha=90^{\circ}$,
б) $\displaystyle \cos\alpha=\frac{24}{25}$.

Найти координаты точки, полученной при повороте точки $A(-1;~-2)$ вокруг точки $O(3;~1)$ по часовой стрелке на угол $\alpha$, если
а) $\alpha=90^{\circ}$,
б) $\displaystyle \cos\alpha=\frac{7}{25}$.

Найти координаты точки, полученной при повороте точки $A(-1;~4)$ вокруг точки $O(3;~1)$ по часовой стрелке на угол $\alpha$, если
а) $\alpha=90^{\circ}$,
б) $\displaystyle \cos\alpha=-\frac{7}{25}$.