Аналитическая геометрия и векторная алгебра

Написать уравнение прямой, проходящей через точку $(-4;~7)$ перпендикулярно прямой $x-4y-2=0$.

Написать уравнение прямой, проходящей через точку $(6;~1)$ перпендикулярно прямой $4x+y+9=0$.

Написать уравнение прямой, проходящей через точки $A(4;~-6)$ и $B(-8;~-12)$, а также найти координаты точки пересечения этой прямой с прямой $2x+y=2$.

Написать уравнение прямой, проходящей через точки $A(-3;~26)$ и $B(5;~-22)$, а также найти координаты точки пересечения этой прямой с прямой $3x+y=5$.

Написать уравнение прямой, проходящей через точки $A(2;~1)$ и $B(-4;~10)$, а также найти координаты точки пересечения этой прямой с прямой $3x-y=5$.

Написать уравнение прямой, проходящей через точки $A(6;~7)$ и $B(-2;~11)$, а также найти координаты точки пересечения этой прямой с прямой $3x-y=4$.

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=3:1$, а на середине отрезка $AM$ взята точка $K$. Через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$ выразить:
а) вектор $\overline{AM}$,
б) вектор $\overline{CK}$.

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=3:2$, а на середине отрезка $AM$ взята точка $K$. Через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$ выразить:
а) вектор $\overline{MK}$,
б) вектор $\overline{BK}$.

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=1:4$, а на середине отрезка $AM$ взята точка $K$. Через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$ выразить:
а) вектор $\overline{AK}$,
б) вектор $\overline{KC}$.

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ так, что $BM:MC=2:3$, а на середине отрезка $AM$ взята точка $K$. Через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$ выразить:
а) вектор $\overline{KM}$,
б) вектор $\overline{BK}$.

В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AP$, $BQ$ и $CR$. Доказать, что $\overline{AP}+\overline{BQ}+\overline{CR}=\vec 0$.

В треугольнике $ABC$ проведены медианы, пересекающиеся в точке $O$. Доказать, что $\overline{OA}+\overline{OB}+\overline{OC}=\vec 0$.

В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AP$, $BQ$ и $CR$, пересекающиеся в точке $O$. Доказать, что $\overline{OP}+\overline{OQ}+\overline{OR}=\vec 0$.

Точка $M$ — середина отрезка $AB$, $O$ — произвольная точка. Доказать, что $\displaystyle\overline{OM}=\frac12\left(\overline{OA}+\overline{OB}\right)$.

Медианы треугольника $ABC$ с вершиной в точках $A(-1,~-4)$ и $B(-5,~3)$ пересекаются в точке $O(1,~0)$. Найти координаты третьей вершины треугольника.

На прямой $y=2x$ найти точку, равноудалённую от точек $A(1;~-3)$ и $B(9;~-1)$.

На прямой $y=2x$ найти точку, равноудалённую от точек $A(-4;~3)$ и $B(2;~7)$.

На прямой $y=x+1$ найти точку, равноудалённую от точек $A(-4;~3)$ и $B(2;~7)$.

На прямой $y=x-3$ найти точку, равноудалённую от точек $A(-4;~3)$ и $B(6;~5)$.

Медианы треугольника с вершинами в точках $A(-5;~6)$, $B(-1;~-5)$ и $C$ пересекаются в точке $O(1;~3)$. Найти координаты вершины $C$ треугольника.